Взаимное расположение двух прямых на плоскости

Если две прямые l₁ и l₂ лежат на плоскости, то возможны три различных случая их взаимного расположения: 1)пересекаются (т.е. имеют одну общую точку); 2) параллельны и не совпадают; 3) совпадают. Выясним, как узнать, какой из этих случаев имеет место, если эти прямые заданы своими уравнениями в общем виде:

(12) Если прямые l₁ и l₂ пересекаются в некоторой точке М(х,у), то координаты этой точки должны удовлетворять обоим уравнениям системы (12). Следовательно, чтобы найти координаты точки пересечения прямых l₁ и l₂, надо решить систему уравнений (12): 1) если система (12) имеет единственное решение, то прямые l₁ и l₂ пересекаются; 2) если система (12) не имеет решения, то прямые l₁ и l₂ параллельны; 3) если система (12) имеет множество решений, то прямые l₁ и l₂ совпадают. Условием совпадения двух прямых является пропорциональность соответствующих коэффициентов их уравнений. Пример 10. Пересекаются ли прямые 3х+4у-1=0 и 2х+3у-1=0? Решение: Решим систему уравнений:

система имеет единственное решение, следовательно прямые пересекаются. Точка пересечения прямых имеет координаты (-1;1). Пример 11. Параллельны, ли прямые 2х-у+2=0 и 4х-2у-1=0? Решение: Решим систему уравнений

Эта система не имеет решений, следовательно прямые параллельны. Пример 12. Совпадают ли прямые х+у+1=0 и 3х+3у+3=0? Решение: Совпадают, так как коэффициенты пропорциональны. Пример 13. Составить уравнение прямой линии, проходящей через точку пересечения прямых х+у-1=0, х-у+2=0 и через точку (2,1). Решение: Находим координаты точки пересечения двух данных прямых линий. Для этого решаем данные уравнения совместно. Складывая, находим: 2х+1=0, откуда

Вычитая из первого уравнения второе, получаем: 2у-3=0, откуда

. Далее, остается составить уравнение прямой линии по двум точками (

) и (2;1) Искомое уравнение будет

, или

или

откуда

или x+5y-7=0