При выплате издержек хранения пренумерандо. Для удобства записи соответствующей задачи введем, дополнительно, следующие обозначения

Для удобства записи соответствующей задачи введем, дополнительно, следующие обозначения. Пусть

· = (D₁, D₂ , …, D_N) – вектор годового потребления i-товаров;

· = (C₁, C₂, …, C_N) – вектор соответствующих годовых затрат на хранение единицы i-товаров;

· × - скалярное произведение векторов и , представляющее число, определяемое по формуле × = D₁ ∙ C₁ + D₂ ∙ C₂ + … + D_N ∙ C_N;

· _опп - вектор, равный сумме векторов _оп= (C _{оп 1} , C_{оп 2} , …, C _{оп N}) и _п = (C_п1, C_п2, …, C_пN);

· × _опп – скалярное произведение векторов и _опп.

Вернемся к анализу интересующей нас целевой функции F = F(Т_об ) в рамках рассматриваемой задачи максимизации интенсивности потока доходов для соответствующей системы управления запасами. Раскрывая скобки в выражении для F (с учетом равенств Т_об = q_i /D_i ) и упорядочивая слагаемые по степеням Т_об, домножая при этом для удобства на 2, причем опуская слагаемые, которые не зависят от Т_об ,и меняя знак целевой функции на противоположный, перепишем задачу оптимизации в виде

[ 2 C₀ / Т_об + Т_об ( × )] + Т_об × r ×( × _опп)+ Т_об² × ×( × ) ® min.

Анализируя последнее выражение для целевой функции легко видеть, что в этой записи первое слагаемое (специально выделенное и взятое в квадратные скобки), рассматриваемое как функция переменного Т_об в области Т_об > 0, имеет единственную точку минимума Т_об⁰ (напомним, что для нее справедливо равенство Т_об⁰ , – см. приведенное выше сравнение с классической многономенклатурной моделью управления запасами при постоянном спросе в случае r = 0), для которой справедливы рекомендации, имеющиеся в теории применительно к соответствующей модели, но без учета временной структуры процентных ставок и, соответственно, без учета временной стоимости денег. При этом остальные слагаемые в последней записи соответствующей задачи минимизации, рассматриваемые (отдельно) как функции переменного Т_об в интересующей нас области Т_об > 0 имеют минимум в точке Т_об =0.

Теперь нетрудно видеть, что точка минимума (обозначим ее через Т_об^*) для функции F(Т_об) окажется расположенной в интервале (0; Т_об⁰), т.е. левее рекомендуемой в теории точки Т_об⁰ применительно к модели, когда временная структура процентных ставок не учитывается. Другими словами, оптимальное значение Т_об^* длительности периода времени между общими поставками с учетом временной стоимости денег не совпадает с классическими рекомендациями. А именно, - оно всегда будет меньшим, т.е. всегда при учете соответствующих процентных ставок в рамках анализируемой многономенлатурной модели управления запасами выполняется неравенство

Т_об^* < Т_об⁰.

При этом, соответственно, и для значений оптимальных объемов i-заказов q_i^* в поставляемой партии также выполняются неравенства

q_i^* < q_i⁰,

где q_i⁰ - рекомендуемые в теории (без учета временной стоимости денег) объемы i-заказов при общих поставках.

Насколько велико соответствующее расхождение для этих основных параметров стратегии управления запасами и какие возможности для повышения эффективности системы дает учет временной стоимости денег можно будет увидеть из дальнейшего анализа.

ПАРАМЕТРЫ ОПТИМАЛЬНОЙ СТРАТЕГИИ УПРАВЛЕНИЯ

ПРИ ВЫПЛАТЕ ИЗДЕРЖЕК ХРАНЕНИЯ ПРЕНУМЕРАНДО С

УЧЕТОМ ВРЕМЕННОЙ СТРУКТУРЫ ПРОЦЕНТНЫХ СТАВОК

Понятно, что в рамках рассматриваемой модели далее достаточно указать алгоритм определения оптимального периода времени Т_об^* между общими поставками по соответствующей группе товаров. Для его нахождения составим уравнение F¢(Т_об ) = 0, т.е. уравнение

( × ) + r ×( × _опп) + Т_об × r ×( × ) - 2 C₀ /(Т_об)² = 0.

Понимая, что для интересующего нас корня Т_об^* этого уравнения имеет место неравенство Т_об^* < Т_об⁰ будем искать оптимальное значение длительности интервала времени между поставками в виде Т_об^* = Т_об⁰ / z, где z >1, причем здесь величина 1/ z показывает, какая именно доля от значения Т_об⁰ (оптимального периода времени между общими поставками, но без учета временной стоимости денег) определяет оптимальное решение для этого показателя (но уже для модели с учетом процентных ставок). Подставляя в последнее равенство выражение Т_об / z вместо Т_об получаем уравнение относительно неизвестного z в области z > 1, которое после несложных преобразований приводится к следующему виду:

Это - уравнение третьей степени относительно неизвестного z (в области z > 1), которое уже приведено к «неполному» виду, когда отсутствует член, содержащий z², т.е. к виду z³ + pz + g = 0. При этом, подчеркнем, что здесь, как и в ситуации главы 2, имеет место «неприводимый» случай, причем выполняются неравенства p < 0 и g < 0. Поэтому далее удобно для решения уравнения использовать подход тригонометрического метода решения. Соответственно, интересующий нас корень указанного кубического уравнения (обозначаем его через z₀) определяется, как уже отмечено в главе 2, по формулам (см., например, [Г.Корн, Т.Корн – Справочник по математике для научных работников и инженеров. – М., Наука, 1974]):

, где .

Применительно к интересующему нас уравнению получаем формулы, позволяющие находить корень z₀ :

,

где .

Наконец, при известном значении z₀ оптимальная величина длительности Т_об^* периода времени между общими поставками и оптимальные размеры i -заказов q_i^*, максимизирующие интенсивность потока доходов и суммарный чистый дисконтированный доход для рассматриваемой модели управления запасами с учетом временной стоимости денег, находятся, окончательно, по формулам

Т_об^* = Т_об⁰ / z₀

q_i^* = Т_об^* × D_i.

ЗАМЕЧАНИЕ. Подчеркнем, что анализ полученных результатов для оптимальной стратегии управления запасами показывает следующее. В рамках рассматриваемой модели исследуемые параметры (оптимальная длительность периода времени Т_об^* между общими поставками и оптимальные размеры i-заказов q_i^* в партиях поставок) не зависят от показателей Р_Пi, характеризующих прибыль на единицу i-товара. Действительно, ни значение , ни значение z₀ , ни значение Т_об⁰, определяющие интересующий нас показатель Т_об^*, не зависят от величин Р_Пi. При этом, само максимальное значение интенсивности потока доходов (целевая функция F в исходной постановке задачи оптимизации) естественно, будет зависеть от указанного показателя.

ПРИМЕР 7.2. Для иллюстрации предложенных процедур нахождения интересующих нас параметров оптимальной многономенклатурной стратегии управления запасами с общими поставками в рамках рассматриваемой модели с учетом временной стоимости денег, а также для иллюстрации отклонений основных показателей такой оптимальной стратегии по сравнению с рекомендациями классического подхода (без учета временной структуры процентных ставок) рассмотрим условную ситуацию примера 2.1 с тремя видами продуктов. А именно, пусть, как и в главе 2, параметры модели соответствуют классическому примеру из книги [Дж. Букан, Э. Кенигсберг. Научное управление запасами. – М.: Наука, 1967]. Для удобства они представлены ниже в таблице 7.2.

Табл. 7.2

Показатели, характеризующие запасы анализируемых видов продукции

Продукт
Годовое потребление Di	D1 = 12000	D2 = 25000	D3 = 6000
Издержки хранения Сhi	Ch1 = 0,6	Ch2 = 0,4	Ch3 = 1,2
Стоимость ед. товара Спi	Cп1 = 3	Cп2 = 2	Cп3 = 6

Дополнительно, для удобства дальнейшего сравнения результатов с аналогичными, но уже для классической модели без учета временной стоимости денег, полагаем C_опi=0 (например, соответствующие издержки уже включены в стоимость товара). Кроме того, пусть при общих поставках накладные расходы на одну поставку составляют С₀ = 40 (у.е.). Также для определенности считаем, что Р_пi / C_пi = 0.5 (для всех видов продуктов) и принимаем, что годовая ставка наращения составляет 20%, т.е. r=0,2.

Найдем параметры оптимальных стратегий управления запасами с общими поставками как для модели с учетом временной структуры процентных ставок, так и для классической модели (без учета таковой), и сравним их между собой.

РЕШЕНИЕ. Прежде всего заметим, что в рамках рассматриваемого примера имеем:

· = (12000; 25000; 6000), = (0,6; 0,4; 1,2), так что ( × ) = 24400, (т.к. 24400 = 12000×0,6 + 25000×0,4 + 6000×1,2);

· _опп = _п = (3; 2; 6) (т.к. С _опi = 0) , так что × _опп = × _п = 122000 (=12000×3 + 25000×2 + 6000×6).

Теперь сначала представим оптимальную стратегию для случая классического варианта модели, когда временная стоимость денег не учитывается. При этом для имеем Т_об⁰ = 0,05726 (или @ 21 день). Соответственно такой рекомендации при общих поставках этих товаров имеем:

· объемы i-товаров в заказе –

q₁⁰ = 687, q₂⁰ = 1431, q₃⁰ = 344;

· годовые издержки хранения (обозначим их через Х_i⁰) по видам товаров -

Х₁⁰ = 206, Х₂⁰ = 286, Х₃⁰ = 206 (у.е.);

· накладные расходы на поставки товаров за год составят 707 (у.е.).

Для нахождения оптимальной стратегии в данной ситуации, но уже с учетом временной стоимости денег, предварительно находим значение соответствующего cosa:

,

т.е. cosa = 0,01052.

Затем, переходя к (как видим, для данной ситуации он, практически, соответствует 90°) находим значение После этого определяем значение величины z₀:

,

т.е. z₀ = 1,418 (с точностью до 10^-3).

ЗАМЕЧАНИЕ. В соответствии с принятыми численными значениями показателей, характеризующих рассматриваемую систему управления запасами, полученное ранее кубическое уравнение относительно неизвестного z (для определения ) имеет в этой ситуации вид

z³ – 2z – 0,01374 = 0.

Отметим, что при найденном в этом примере значении z_о = 1,418 левая часть этого равенства принимает значение

2,85121 – 2,836 – 0,01374 @ 0,00147

Как видим, при выбранной точности расчетов для (до 10^-3) получаем достаточно хорошее приближение. Положительный знак для получившегося значения левой части уравнения (+0,00147) показывает, что при более точном определении z₀ будет несколько меньшим (например, проверьте значение z₀ @ 1,4177, которое даст более точное приближение при точности до 10^-4).

Определив значение z₀ = 1,418, переходим к анализу основных параметров оптимальной стратегии управления запасами в рамках рассматриваемого примера. А именно, соответствующее оптимальное значение Т_об ^* периода времени между общими поставками с учетом временной стоимости денег для рассматриваемого случая составляет

Т_об ^* = Т_об ⁰ / z₀ = 0,05726 / 1,418 = 0,040.

Соответственно, в оптимальном случае с учетом временной стоимости денег при общих поставках этих товаров имеем:

· объемы товаров в заказе –

q₁⁰ = 479, q₂⁰ = 998, q₃⁰ = 239;

· издержки хранения Х_i⁰ (годовые) по видам товаров –

Х₁⁰ = 143, Х₂⁰ = 200, Х₃⁰ = 143 (у.е.);

· накладные расходы на поставки за год составят 1002(у.е.).

Итак, если не учитывать временную структуру процентных ставок, то рекомендуемое теорией значение периода времени между общими поставками в рамках рассматриваемого примера равняется Т_об ⁰ = 0,05726 (@ 21 день). Учет временной стоимости издержек/доходов приводит соответственно к оптимальному значению этого показателя, которое в нашем примере составляет Т_об ^* = 0,04 (@ 14 дней).

Как видим, отклонение для периода времени между общими поставками партий заказов соответствует ошибке порядка 43%. Понятно, что такая ошибка приведет к существенному изменению стратегии управления запасами и, кроме того, может значительно отразиться на показателе эффективности работы системы. В частности, оценим далее соответствующее отклонение показателя интенсивности доходов соответствующей системы управления запасами в рамках рассматриваемого примера для интересующих нас двух случаев:

1) при T = T_об ^* = 0,04 (стратегия реализуется с учетом временной стоимости издержек/доходов);

2)при T = Т_об ⁰ = 0,05726 (стратегия реализуется без учета временной стоимости издержек/доходов).

Случай 1. При стратегии, использующей показатели T_об ^* и q_i ^* для интенсивности доходов F_max (годовой) имеем:

F_max = 122+61–(1+ 0,2×0,04 / 2)×(0,04 / 0,04 +122+ 24,4×0,04 / 2) = 59,018

(тыс. у.е./год)

Случай 2. При стратегии, использующей соответственно показатели Т_об ⁰ и q_i ⁰ для интенсивности доходов F⁰ (годовой) имеем:

F⁰ = 122+61–(1+ 0,2×0,05726/2)×(0,04/0,05726+122+24,4×0,05726/2)= 58,898

(тыс. у.е./год)

Как видим, разница F_max – F⁰ в интенсивности доходов (годовой) для этих случаев по анализируемым видам товаров имеет порядок 120 у.е. (за год) несмотря на некоторое увеличение общих издержек. В реальных системах управления запасами соответствующий перечень номенклатуры товаров может измеряться сотнями и даже тысячами наименований. Кроме того, при уменьшении длительности интервала времени между общими поставками товаров соответственно уменьшаются и объемы хранимых товаров, и объемы соответствующих страховых запасов по этим товарам, а следовательно и «замороженные» в них деньги. Поэтому суммарный показатель возможного повышения эффективности системы за счет учета временной структуры процентных ставок по всей группе товаров, как видим, может оказаться весьма существенным.

ОСОБЕННОСТИ СТРАТЕГИИ ПРИ ВЫПЛАТЕ ИЗДЕРЖЕК ХРАНЕНИЯ В КОНЦЕ ИНТЕРВАЛА ПОВТОРНОГО ЗАКАЗА

В представленной выше модели стратегии управления запасами (исходная модель) моменты времени выплат издержек хранения принимались относящимися соответственно к началу периода поставки (выплаты пренумерандо). Далее дополнительно рассмотрим (в кратком изложении) особенности анализируемой стратегии для случая, когда контрактные условия предполагают возможность учёта издержек хранения постнумерандо, т.е. в конце периодов поставки. Соответственно потоки уходящих платежей будут представлены в виде:

· уходящие платежи, соотносимые с началом периода поставки –

C _о + ∑ C _опi·· q_i + ∑ C _пi · q_i;

· уходящие платежи, соотносимые с концом периода поставки –

∑ C _hi q_i · Т _об /2.

При этом приходящие платежи остаются прежними, а задача максимизации интенсивности потока денежных доходов (обозначим такую интенсивность через F_пост) для модели с выплатой издержек хранения по схеме постнумерандно с учётом временной стоимости денег принимает вид:

F_пост ® max,

где

,

причём, как и ранее, величины q_i и T_об связаны равенствами Т_об =q_i /D_i. Заметим также, что здесь выплаты ∑ С_hiq_i · T_об / 2 (относящиеся к концу периода поставки) уже продисконтированы в рамках схемы простых процентов к общему моменту времени учёта всех платежей. А именно, они приведены к середине периода поставки, т.е. к моменту Т_об/2 с учётом соответствующего значения дисконта d = r/(1+r).

После несложных преобразований интересующая нас задача оптимизации легко приводится к виду

(здесь, как и ранее, = + ), который, практически, полностью соответствует задаче оптимизации стратегии управления запасами для рассмотренной выше исходной модели. Действительно, особенность рассматриваемого здесь случая (выплаты издержек хранения постнумерандо) по сравнению с исходной моделью (выплаты этих издержек пренумерандо) отражается аналитически только наличием дополнительного множителя -1/(1+r) в слагаемом, содержащем Т_об² . Легко видеть, что при этом также будут иметь место неравенства

q_i^*(пост) < q_i⁰,

Т_об^*(пост) < Т_об⁰,

где через q_i^*(пост) обозначено оптимальное значение размеров партии i-заказов, а через Т_об^*(пост) – оптимальное значение длительности периода времени между общими поставками в рамках модели с учётом временной стоимости денег при выплате издержек хранения по схеме постнумерандо.

Кроме того, используя представленные выше (для исходной модели) методы определения параметров оптимальной стратегии управления запасами с учётом временной стоимости денег для анализируемого случая соответственно получаем следующее. При выплате издержек хранения постнумерандо оптимальный размер заказа q_i^*(пост) и оптимальный период поставок Т_об^*(пост) можно находить по формулам

q_i^*(пост) = Т_об^*(пост) ·D_i,

Т_об^*(пост) = Т_об⁰ / Z_о (пост),

где

,

причём

.

Для сравнения параметров оптимальной стратегии, относящихся к случаю выплаты издержек хранения в конце периодов поставки (выплаты постнумерандо), с аналогичными, но относящимися к ранее представленному аналогу интересующей нас модели, вернёмся к условиям рассмотренного выше примера 7.2.

ПРИМЕР 7.3. (Продолжение примера 7.2: выплаты издержек хранения постнумерандо). Найдём соответствующую оптимальную длительность периода времени между общими поставками Т_об^*(пост) и оптимальные размеры q_i^*(пост) i- товаров в партии заказа. А именно, для значения в этом случае имеем (напомним снова, что в рамках нашего примера ранее было условно принято С _оп= 0, причем было уже определено, что = 24400 и = 122000):

(сравните со значением =0,0105 для случая выплат издержек хранения пренумерандо). Соответственно далее имеем =0,865 и z₀=1,413. При этом (учитывая, что в рамках нашего примера Т_об ⁰ = 0,05726 или, примерно, 21 день) для основных параметров оптимальной стратегии управления в этом случае имеем

T_об^*(пост) = Т_об ⁰ / Z_о(пост) = = 0,040524 (или ≈ 14 дней)

q₁^*(пост) = T_об^*(пост) ∙D₁ =0,040524∙ 12000 ≈ 486 (ед. тов.)

q₂^*(пост) = T_об^*(пост) ∙D₂ =0,040524∙ 25000 ≈ 1013 (ед. тов.)

q₃^*(пост) = T_об^*(пост) ∙D₃ =0,040524∙ 6000 ≈ 243 (ед. тов.)

Оценим также соответствующее отклонение показателей интенсивности доходов в рамках рассматриваемого примера при выплате издержек хранения постнумерандо для интересующих нас двух случаев:

1) при T = T_об ^* = 0,0405 (стратегия реализуется с учетом временной стоимости издержек/доходов);

2) при T = Т_об ⁰=0,05726 (стратегия реализуется без учета временной стоимости издержек/доходов).

Случай 1. При стратегии, которая использует показатели T_об ^* (пост) и q_i ^* (пост) для интенсивности доходов F_пост^* (годовой) имеем:

F_пост^* = 122+61–(1+ 0,2×0,0405/2)×(0,04/0,0405+122)–(1- 0,2×0,0405/1,2·2)´

´0,0405×24,4 / 2 = 59,02 (тыс. у.е./год)

Случай 2. При стратегии, использующей соответственно показатели Т_об ⁰ и q_i ⁰ для интенсивности доходов F_пост⁰ (годовой) имеем:

F_пост⁰ = 122+61–(1+ 0,2×0,05726/2)×(0,04/0,05726+122)–(1- 0,2×0,05726/1,2·2)´

´0,05726×24,4 / 2 = 58,90 (тыс. у.е./год)

Как видим, разница F_пост^* – F_пост⁰ в интенсивности доходов (годовой) для этих случаев по анализируемым видам товаров при выплате издержек хранения постнумерандо снова (как и для исходной модели, когда выплата издержек хранения соответствовала схеме пренумерандо) имеет порядок 120 у.е. (за год). При этом, найденные значения параметров q_i^*(пост) и T_об^*(пост) оптимальной стратегии управления запасами для случая выплат издержек хранения постнумерандо также, практически, совпадают с соответствующими параметрами q_i^* и Т_об^* для случая выплат издержек хранения пренумерандо (исходная модель). Заметим, что имеющиеся весьма незначительные расхождения будут, очевидно, соответствующим образом нивелированы на практике из-за необходимости округления результатов для размеров i-заказов в общих партиях поставок до приемлемого целого значения. При этом расхождение с классическими рекомендациями, когда не учитывается временная стоимость денег (параметры q_i⁰ и Т_об⁰ ), как видим, оказывается значительным.

Дата добавления: 2015-05-08