Состояние механической системы в начальный момент времени с известным законом взаимодействия частиц есть причи­на, а ее состояние в последующий момент — следствие

Квадрат модуля волновой функции (квадрат модуля амплитуды волн де Бройля) определяет вероятность нахождения частицы в момент време­ни t в области с координатами х и x+dx, у и y+dy, z и z+dz.

Дифракционная картина для микрочастиц является проявлением статистичес­кой (вероятностной) закономерности, согласно которой частицы попадают в те места, где интенсивность волн де Бройля наибольшая.

немецкий физик М. Борн (1882—1970) в 1926 г. предположил, что

по волновому закону меняется не сама вероятность, а величина, названная амплитудой вероятности и обозначаемая Y(х, у, z, t).

Эту величину называют также волновой функцией (или Y-функцией).

Амплитуда вероятности может быть комплексной, и вероятность W пропорциональна квадрату ее модуля:

(|Y|²=YY*,

Y * — функция, комплексно сопряженная с Y).

описание состояния микрообъекта с помощью волновой функции имеет статистический, вероят­ностный характер:

Вероятность нахождения частицы в элементе объемом d V равна

Величина

.. ..

(квадрат модуля Y-функции) имеет смысл плотности вероятности,

т. е. определяет вероятность нахождения частицы в единичном объеме в окрестности точки с коор­динатами х, у, z.

физический смысл имеет не сама Y-функция, а квадрат ее модуля |Y|², которым задается интенсивность волн де Бройля.

Вероятность найти частицу в момент времени t в конечном объеме V, согласно теореме сложения вероятностей, равна

Функция Y, харак­теризующая вероятность обнаружения действия микрочастицы в элементе объема, должна быть

конечной (вероятность не может быть больше единицы),

однозначной (вероятность не может быть неоднозначной величиной)

и

непрерывной (вероятность не может изменяться скачком).

Волновая функция удовлетворяет принципу суперпозиции: если система может нахо­диться в различных состояниях, описываемых волновыми функциями Y₁, Y₂,..., Y _n,... то она также может находиться в состоянии Y, описываемом линейной комбинацией этих функций:

где С _n (n =1, 2,...)—произвольные, вообще говоря, комплексные числа.

Общее уравнение Шредингера. Уравнение Шредингера для стационарных состояний

Основное уравнение нерелятивистской квантовой механики сформулировано в 1926 г. Э. Шредингером.

где

ћ = h /(2p),

т— масса частицы,

D—оператор Лапласа

i — мнимая единица,

U (х, у, z, t) — потенциальная функция частицы в силовом поле, в котором она движется,

Y (х, у, z, t) — искомая волновая функция частицы.

Уравнение справедливо для любой частицы (со спином, равным 0; движущейся с малой (v <<с) скоростью

Оно дополняется условиями, накладываемыми на волновую функцию:

1) волно­вая функция должна быть конечной, однозначной и непрерывной

2) производные должны быть непрерывны;

3) функция |Y|² должна быть интегрируема; это условие в простейших случаях сводится к условию нормировки вероятностей

Принцип причинности в квантовой механике

классическая физика ос­новывается на следующем понимании причинности:

В кванто­вой механике состояние микрообъекта полностью определяется волновой функцией Y(x, у, z, t), квадрат модуля которой |Y (x, у, z, t)|² задает плотность вероятности нахождения частицы в точке с координатами х, у, z.

В свою очередь, волновая функция Y(х, у, z, t) удовлетворяет уравнению Шредингера содержащему первую производную функции Y по времени. Это же означает, что задание функции Y₀ (для момента времени t ₀) определяет ее значение в последующие моменты.

в квантовой механике

начальное состояние Y₀ есть причина, а состояние Y в последующий момент — следствие.

Движение свободной частицы

Свободная частица — частица, движущаяся в отсутствие внешних полей.

Тогда полная энергия частицы совпадает с ее кинетической энергией.

В таком случае уравнение Шредингера для стационарных состояний примет вид

частным решением уравнения является функция y (х) = Ае^ikx,

где А = const и k = const,

с собственным значением энергии

Функция

представляет собой только координатную часть волновой функции Y(x, t).

. все положения свободной частицы в пространстве являются равновероятными.

Линейный гармонический осциллятор в квантовой механике

Линейный гармонический осциллятор — система, совершающая одномерное движение под действием квазиупругой силы, — является моделью, используемой во многих задачах классической и квантовой теории

Пружинный, физический и мате­матический маятники — примеры классических гармонических осцилляторов.

Потенциальная энергия гармонического осциллятора

где w ₀ — собственная частота колебаний осциллятора,

т — масса частицы.

Амплитуда малых колебаний классического осциллятора определяется его полной энергией Е В точках с координатами ± x _max полная энергия Е равна потенциальной энергии.

Поэтому с классической точки зрения частица не может выйти за пределы области (– x _max, + x _max). Такой выход означал бы, что ее потенциальная энергия больше полной, что абсурдно, так как приводит к выводу, что кинетическая энергия отрицательна.

Гармонический осциллятор в квантовой механике — квантовый осциллятор — опи­сывается уравнением Шредингера

где Е — полная энергия осциллятора.

уравнение решается только при собственных значениях энергии

энергия квантового осциллятора может иметь лишь дискретные значения, т. е. квантуется. Энергия ограничена снизу минималь­ным значением энергии

E ₀=¹/₂ћw₀ ^.

Существование минимальной энергии — она назы­вается энергией нулевых колебаний — является типичной для квантовых систем и пред­ставляет собой следствие соотношения неопределенностей.

классическая физика приводит к выводу, что при Т =0 энергия колебательного движения атомов кристалла должна обращаться в нуль. Следовательно, должно исчезать и рассеяние света, обусловленное колебаниями атомов. Однако эксперимент показывает, что интенсивность рассеяния света при понижении температуры не равна нулю, а стремится к некоторому предельному значению, указывающему на то, что при Т ®0 колебания атомов в кристалле не прекращаются. Это является подтверждением наличия нулевых колебаний.

Квантово-механический расчет показывает, что частицу можно обнаружить за пределами дозволенной области | x| £ x _max

Элементы современной физики атомов и молекул

Атом водорода в квантовой механике

Состояние электрона в атоме водорода описывается волновой функцией y, удовлетворяющей стационарному уравнению Шредингера

где т — масса электрона, Е — полная энергия электрона в атоме.

Дата добавления: 2015-05-09