Максимумы и минимумы функции

2.76. 2.77. 2.78.

Ответы к упражнениям

УПРАЖНЕНИЯ

Построить графики функций, используя элементарные преобразования:

2.73.

2.74.

2.75.

2.76.

2.77.

2.78.

2.79.

2.80.

2.81.

2.73. 2 .74. 2.75.

2.79.2.80. 2.81.

Интервал , где >0, называется окрестностью точки .

Если функция y=f(x) определена на промежутке (a, b), то внутренняя точка этого промежутка называется точкой максимума функции f(x) (точкой минимума функции f(x)), если существует такая окрестность точки , в которой для всех x выполняется неравенство (). Точки максимума и минимума называются точками экстремума.

Необходимое условие экстремума. Если в точке достигается экстремум функции, то в точке производная равна нулю или не существует.

Точки, в которых производная равна нулю или не существует, называются критическими точками.

Первое достаточное условие экстремума. Пусть функция f(x) непрерывна в некоторой окрестности точки .

а) Если при x < и при x > (т.е. при переходе через производная меняет знак + на знак -), то в точке функция достигает максимума;

б) Если для x < и для x > (т.е. при переходе через производная меняет знак – на знак +), то в точке функция достигает минимума;

в) Если при переходе через производная знак не меняет, то в точке экстремума нет.

Второе достаточное условие экстремума. Пусть в критической точке функция f(x) дважды дифференцируема. Если при этом , то в точке функция достигает максимума, если , то в точке достигается минимум функции f(x).

Дата добавления: 2015-05-09