Решение задач. Пример 1. Исследовать на экстремум функцию

ПРИМЕР 1. Исследовать на экстремум функцию

f(x) = ;

Решение.

Критическими точками являются корни уравнения

т.е. точки , . В примере 1 установлено, что:

для x <-1

для -1< x <4, поэтому в точке = -1 достигается максимум функции

f( -1 ) =20.

Справедливо также неравенство:

для x >4, поэтому в точке = 4 достигается минимум функции

f( 4 ) = -105.

ПРИМЕР 2. Исследовать на экстремум функцию f(x) = .

Решение. Критические точки определяются из уравнения

т.е. =0, =2.

Ранее были установлены следующие неравенства:

для x <0,

для 0< x <2,

для 2< x <+ .

Таким образом, при переходе через =0 производная меняет знак с – на знак +, а при переходе через =2 со знака + на знак -, поэтому в точке =0 достигается минимум, равный f( 0 ) =0, а в точке =2 – максимум, равный f( 2 ) =0.541.

ПРИМЕР 3. Исследовать на экстремум функцию f(x) = .

Решение.

Критические точки находятся из уравнения

, отсюда = -1, =1. Так как справедливы неравенства

1+ >0 для - < x <+ ,

1- <0 для - < x <-1,

1- >0 для -1< x <1,

1- <0 для 1< x <+ , то в точке =-1 достигается минимум, равный f( -1 ) = -0.5, а в точке =1 максимум, равный f( 1 ) =0.5.

ПРИМЕР 4. Исследовать на экстремум функцию f(x) = .

Решение.

.

Отсюда видно, что точка х=0 – точка минимума.

Дата добавления: 2015-05-09