Применение функций в экономике

Тест

Задания с экономическим содержанием

Задания для контрольных работ

Ответы к упражнениям

УПРАЖНЕНИЯ

Исследовать и построить графики следующих функций:

3.1. f(x)= ;

3.2. f (x)= ;

3.3. f(x)= ;

3.4. f(x)= ;

3.5. f(x)= ;

3.6. f(x)= ;

3.7. f (x)= ;

3.8. f (x)= 1+ ;

3.9. f (x)= ;

3.10. f(x)= .

3.1. 3.2. 3.3.

3.4. 3.5. 3.6.

3.7. 3.8. 3.9.

3.10.

Исследовать функцию и построить её график:

1.

2. ;

3.

4. ;

5.

6. ;

7.

8.

9.

10. ;

11.

12. ;

13.

14. ;

15. ;

16. ;

17.

18. ;

19.

20. + ;

21. ;

22. ;

23. ;

24. + ;

25. + ;

26. ;

27. ;

28. ;

29. ;

30.

31.

32.

33.

34.

35.

36.

37.

38.

39.

40.

41. ;

42.

43.

44. ;

45.

46.

47. - ;

48. ;

49. ;

50. ;

51. ;

52. ;

53. ;

54. ;

55. .

1. Фирма «Конфетти», занимающаяся продажей офисной мебели, провела опрос дилеров и получила следующие сведения о спросе Q на свою продукцию в зависимости от цены Р:

Р, тыс. руб.
Q, тыс. шт.

Определить область определения и множество значения функции спроса.

2. Величина подоходного налога h с физического лица в зависимости от его годового дохода q представлена функцией h(q):

Годовой доход q, тыс. руб.	Величина налога h(q), тыс. руб.

Найти множество значений и область определения данной функции.

3. Построить график таблично заданной функции:

Цена пачки макарон, руб.
Количество проданных за день пачек, шт.

4. Постоянные издержки F (не зависящие от числа x единиц произведенной продукции) составляет 125 тыс. руб. в месяц, а переменные издержки V(x) (пропорциональные x) – 700 руб. за каждую единицу продукции. Цена единицы продукции равна 1200 руб. Найти объем продукции x, при котором прибыль равна: а) нулю (точка безубыточности); б) 105 тыс. руб. в месяц.

Указание: Общие издержки находятся из суммы постоянных и переменных издержек, прибыль равна разности выручки и общих издержек.

5. Фирма купила новый станок для обработки древесины стоимостью 250 тыс. руб. Полагая зависимость стоимости станка от времени эксплуатации линейной, найти его стоимость через 6 лет. Ежегодная норма амортизации составляет 7 %.

6. Банк выплачивает ежегодно 5 % годовых (сложный процент). Определить: а) размер вклада через три года, если первоначальный вклад составляет 10 тыс. руб.; б) размер первоначального вклада, при котором через четыре года вклад (вместе с начисленными процентами) составит 10 тыс. руб.

Указание: Размер вклада через лет определяется по формуле , где - первоначальный вклад; - годовая процентная ставка.

7. Функция суточного спроса на мороженое (тыс. шт.) в зависимости от цены за одну порцию (руб.) имеет вид . Эффективная область «работы» этой формулы от 1 до 9 руб. При какой цене за порцию мороженого совокупная выручка будет наибольшей?

Указание: Совокупная выручка определяется по формуле , где - количество реализованных порций мороженого (тыс. шт.); - цена за одну порцию (руб.).

8. Если собрать урожай в начале августа, то с каждой сотки можно получить 200 кг раннего картофеля и реализовать его по 12 руб. за килограмм. Отсрочка уборки на каждую неделю ведет к увеличению урожайности на 50 кг с одной сотки, но цена картофеля за килограмм при этом падает на 2 руб. Когда следует собрать картофель, чтобы доход от его продажи был максимальным, если срок уборки картофеля составляет 5 недель?

9. Издержки производства некоторого товара равны ; спрос на товар определяется функцией . Найти объем продукции , максимизирующий прибыль.

10. Функция издержек имеет вид , а доход при производстве единиц товара определяется следующим образом:

Определить максимальное для производителя значение выпуска .

Ответы: 1. Область определения – значения Р, множество значений – величины Q. 2. Область определения и множество значений – все положительные действительные числа. 4. а) 250 ед., б) 460 ед. 5. 145 тыс. руб. 6. а) 11,576 руб.; б) 8227 руб. 7. 4руб. 8. через 1 неделю 9. 13 10. 200 ед.

Вариант 1

1. Выяснить, какие функции являются непрерывными, но не дифференцируемыми в точке :

1)

2)

3)

2. Выяснить, какие из функций являются дифференцируемыми в точке =1:

1)

2)

3)

3. Определить характер разрыва функции :

1) х=0 – точка разрыва первого рода

2) х=0 – точка разрыва второго рода

3) х=0 – точка устранимого разрыва

4) точек разрыва нет

4. Найти точки экстремума функции

1)

2)

3)

4)

5. Найти точки экстремума функции

1)

2)

3)

4)

6. Найти абсциссы точек перегиба графика функции

1)

2)

3)

4)

7. Найти асимптоты графика функции

1)

2)

3)

4)

8. Выяснить, какие из приведенных утверждений являются неверными:

1) в точке экстремума производная функции равна 0 или не существует

2) в точке экстремума функция меняет знак

3) в точке экстремума производная функции меняет знак

4) в точке, в которой производная равна нулю или не существует, может не быть экстремума

9. Выяснить, какие из перечисленных функций непрерывны в точке x=0:

1) 2) 3) 4)

10. Указать область определения функции :

1)(0;3] 2)(4;1000] 3)(3;1000] 4) [1000;+ )

11. Выяснить, какие функции являются ограниченными:

1) 2) 3) 4)

12.Выяснить, какие функции являются сложными:

1) 2) 3) 4)

13. Выяснить, какие функции являются нечетными:

1) 2) 3) 4)

14. Среди перечисленных функций горизонтальные асимптоты имеют функции:

1) 2) 3) 4)

15. Среди перечисленных функций вертикальные асимптоты имеют функции:

1) 2) 3) 4)

16. Указать промежутки возрастания функции :

1) 2) 3) 4)

17. Среди перечисленных функций убывает на всей области определения функция:

1) 2) 3) 4)

18. Функция у = f (x) определена на промежутке (– 6; 4). График ее производной изображен на рисунке. Укажите точку минимума функции у = f (x) на этом промежутке.

19. Составить уравнение касательной к графику функции в точках пересечения с осью Ox.

20.Найти наименьшее и наибольшее значение функции на отрезке [-1;2].

21. Указать промежутки выпуклости функции :

1) 2) 3) 4)

22. Выяснить, какой из графиков на рисунке есть график функции :

1) 2) 3) 4)

23.Количество целых значений x из области определения функции равно

1)6 2)3 3)5 4)4

24.Дан график функции

Тогда верны утверждения

1) при

2) при

3) при

4) x =2, x =4 –точки перегиба

5) x =0—точка перегиба

25.Даны функции спроса и предложения , где p—цена товара. Тогда равновесная цена равна

1)3,5 2)2,25 3)4,5 4)1

26. Найти область значений функции .

27. Выяснить, какие из функций заданы неявно

1) 2) 3)

28. Укажите верные утверждения для функции

1)монотонная; 2)ограниченная; 3)неограниченная; 4)четная; 5)нечетная; 6)общего вида; 7)явная; 8)неявная; 9)сложная.

Вариант 2

1. Выяснить, какие функции являются непрерывными, но не дифференцируемыми в точке :

1)

2)

3)

2. Выяснить, какие из функций являются дифференцируемыми в точке =1:

1)

2)

3)

3. Определить характер разрыва функции :

1) х=7 – точка разрыва первого рода

2) х=7 – точка разрыва второго рода

3) х=7 – точка устранимого разрыва

4) точек разрыва нет

4. Найти точки экстремума функции

1)

2)

3) экстремумов нет

5. Найти точки экстремума функции

1)

2) экстремумов нет

3)

4)

6. Найти абсциссы точек перегиба графика функции

1)

2)

3)

4)

7. Найти асимптоты графика функции

1)

2)

3)

4)

8. Следующие из перечисленных утверждений являются всегда верными:

1) в точке перегиба всегда существует конечная первая производная

2) в точке перегиба существует конечная вторая производная

3) точка перегиба является точкой экстремума первой производной функции

4) точка перегиба является точкой экстремума второй производной функции

9. Выяснить, какие из перечисленных функций непрерывны в точке x=0:

1) 2) 3) 4)

10. Указать область определения функции + :

1) ( ] 2) (- ) 3) () 4) [ )

11.Выяснить, какие функции являются ограниченными:

1) 2) 3) 4)

12.Выяснить, какие функции являются сложными:

1) 2) 3) 4)

13. Выяснить, какие функции являются четными:

1) 2) 3) 4)

14. Среди перечисленных функций горизонтальные асимптоты имеют функции:

1) 2) 3) 4)

15. Среди перечисленных функций вертикальные асимптоты имеют функции:

1) 2) 3) 4)

16.Найти промежутки, на которых возрастает функция (x>0):

1) 2) 3) 4)

17. Среди перечисленных функций возрастает на всей области определения функции:

1) 2) 3) 4)

18.Функция определена на промежутке (–3; 7). График ее производной изображен на рисунке. Укажите число точек минимума функции на промежутке (–3; 7).

19. Составить уравнение касательной к графику функции в точке пересечения с осью Ox:

20.Найти наименьшее и наибольшее значение функции на отрезке [-1;2]:

21. Указать промежутки выпуклости функции :

1) 2) 3) 4)

22. Выяснить, график какой функции изображен на рисунке:

1) 2) 3) 4)

23.Количество натуральных значений x из области определения функции равно

1)6 2)3 3)5 4)4

24.Дан график функции

Тогда верны утверждения

1) при

2) при

3) при

4) x = , x = –точки перегиба

5) x =1-- точка перегиба

25.Даны функции спроса и предложения , где p—цена товара. Тогда равновесный объем «спроса-предложения»(q=s) равен

1)1 2)6 3)3,5 4)10,5

26. Найти область значений функции .

27.Выяснить, какие из функций заданы неявно

1) 2) 3)

28. Укажите верные утверждения для функции

1)монотонная; 2)ограниченная; 3)неограниченная; 4)четная; 5)нечетная; 6)общего вида; 7)явная; 8)неявная; 9)сложная.

Многочисленные наблюдения и исследования показывают, что в окружающем нас мире величины существуют не изолированно, а тесно связаны друг с другом, например: цена какого-либо товара и величина спроса на этот товар, инфляция и безработица, объем производства фирмы и ее прибыль и т. д. Поэтому функции находят широкое применение в экономической теории и практике. Спектр используемых в экономике функций весьма широк: от простейших линейных до функций, получаемых по определенному алгоритму с помощью так называемых рекуррентных соотношений, связывающих состояния изучаемых объектов в разные периоды времени.

Наряду с линейными, используются нелинейные функции, такие, как дробно-рациональные, степенные (квадратная, кубическая и т.д.), показательные (экспоненциальные), логарифмические и другие функции. Периодичность, колеблемость ряда экономических процессов позволяет также использовать тригонометрические функции.

Наиболее часто используются в экономике следующие функции:

1. Функция полезности (функция предпочтений)– это в широком смысле зависимость полезности, т.е. результата, эффекта некоторого действия от уровня (интенсивности) этого действия.

2. Производственная функция – зависимость результата производственной деятельности от обусловивших его факторов.

3. Функция выпуска (частный вид производственной функции) – зависимость объема производства от наличия или потребления ресурсов.

4. Функция издержек (частный вид производственной функции) – зависимость издержек производства от объема продукции.

5. Функции спроса, потребления и предложения – зависимость объема спроса, потребления или предложения на отдельные товары или услуги от различных факторов (например, цены, дохода и т.п.).

Учитывая, что экономические явления и процессы обуславливаются действием различных факторов, для их исследований широко используются функции нескольких переменных. Среди этих функций выделяются мультипликативные функции, позволяющие представить зависимую переменную в виде произведения факторных переменных, обращающего его в нуль при отсутствии действия хотя бы одного фактора.

Используются также сепарабельные функции, которые дают возможность выделить влияние различных факторных переменных на зависимую переменную, и в частности, аддитивные функции, представляющие одну и ту же зависимую переменную как при суммарном, но раздельном воздействии нескольких факторов, так и при одновременном их воздействии.

Если действием побочных факторов можно пренебречь или удается зафиксировать эти факторы на определенных уровнях, то влияние одного главного фактора изучается с помощью функции одной переменной. Приведем примеры.

Дата добавления: 2015-05-09