Квадратичная форма, ее матрица

Определение 10.1. Квадратичной формой от n переменных называется однородный многочлен второй степени

. (10.1)

Запись вида (10.1) называется координатной формой записи квадратичной формы (с приведенными подобными членами).

Если в -мерном линейном пространстве выбран некоторый базис, то переменные можно интерпретировать как координаты вектора в этом базисе, при этом координатный вектор-столбец. Если обозначить через (, ) матрицу -го порядка из коэффициентов , то квадратичную форму (5.1) можно записать в матричной форме

. (10.2)

При этом квадратная матрица называется матрицей квадратичной формы. В силу условия при всех она является симметрической матрицей. В самом деле, имеем

.

Определение 10.2. Рангом квадратичной формы (10.2) называется ранг её матрицы . При этом пишут

.

Определение 10.3. Квадратичная форма (10.2) называется невырожденной, если соответствующая ей матрица является невырожденной. При этом . В противном случае (если ) квадратичная форма (10.2) называется вырожденной.

Дата добавления: 2015-05-09