КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Сформируем взвешенную функцию ошибки
Весовая функция определяется следующим соотношением При g<1 пульсации в полосе пропускания меньше, чем в полосе задерживания, а при g>1 наоборот. При g=1 пульсации в полосе задерживания такие же, как в полосе пропускания. В случае оптимального решения имеет по крайней мере K+2 экстремума. Обозначим через , где i= 0,1,..K+1, нормированные частоты экстремумов. На этих частотах должно выполняться условие , где i=0,1,..K+1 Приведенные соотношения представляют собой систему K+2 линейных уравнений с K+2 неизвестными, из которых K+1 неизвестная – коэффициенты Ck аппроксимирующей функции A(θ), а K+2-ая – неизвестная ошибка . Трудность решения задачи состоит в том, что частоты fNi неизвестны. Поэтому сначала произвольно выбирают K+2 значения частот, решают приведенную систему уравнений, находят Ck и и анализируют ошибку аппроксимации во всем интервале частот. Если в некоторых точках фактическая ошибка превосходит , то выбирают новое множество экстремальных частот путем рассмотрения K+2 точек, где эта ошибка максимальна и имеет чередующийся знак. В этой процедуре значение на каждом шаге возрастает и, в конце концов, сходится к своей верхней границе. В соответствии с этим алгоритмом написана машинная программа, нашедшая широкое применение при расчете фильтров.
2.15. Синтез рекурсивных цифровых фильтров методом билинейного Z – преобразования
Передаточная характеристика аналогового фильтра связана с импульсной характеристикой фильтра прямым преобразованием Лапласа По аналогии с предыдущим соотношением дискретное преобразование Лапласа импульсной характеристики цифрового фильтра определяется выражением Системная функция цифрового фильтра представляет собой Z-преобразование импульсной характеристики фильтра
Из сопоставления двух последних соотношений следует, что для нахождения H(z) при известной передаточной характеристике аналогового фильтра-прототипа нужно сделать подстановку
Передаточная характеристика аналогового фильтра-прототипа K(p) представляет собой дробно-рациональную функцию, у которой числитель и знаменатель выражаются полиномами относительно комплексной переменной p. где n<m
Последняя подстановка не позволяет получить системную функцию в виде дробно-рациональной функции с полиномами относительно комплексной переменной z в числителе и знаменателе. Чтобы найти системную функцию, воспользуемся приближенным выражением для ln(z) . Следовательно,
Последнее соотношение получило название билинейного Z- преобразования. Докажем, что билинейное Z-преобразование преобразует устойчивый аналоговый фильтр в устойчивый цифровой фильтр. Для этого из последнего соотношения выразим z через p = s + jw где . Откуда Из последнего соотношения видно, что при s<0 (условие устойчивости аналогового фильтра-прототипа) (условие устойчивости цифрового фильтра). На рисунке показаны затемненные области устойчивости аналогового фильтра - прототипа в плоскости p и цифрового фильтра в плоскости z. Области устойчивости цифрового фильтра и аналогового фильтра-прототипа
Таким образом, билинейное Z-преобразование преобразует левую полуплоскость плоскости p в круг единичного радиуса с центром в начале координат.
Найдем связь между цифровыми и аналоговыми частотами, на которых коэффициенты передачи цифрового фильтра и аналогового фильтра-прототипа одинаковы. Используя билинейное Z – преобразование, можно выразить передаточную характеристику аналогового фильтра через системную функцию цифрового фильтра
Следовательно, комплексный коэффициент передачи аналогового фильтра можно выразить через системную функцию цифрового фильтра С другой стороны, комплексный коэффициент передачи цифрового фильтра связан с системной функцией следующим соотношением Из двух последних соотношений видно, что коэффициенты передачи цифрового фильтра и аналогового фильтра-прототипа равны при выполнении условия Преобразуя последнее соотношение, получим * Таким образом, частота аналогового фильтра – прототипа связана с частотой цифрового фильтра при равенстве их комплексных коэффициентов передачи нелинейной зависимостью. Однако, чем выше частота дискретизации, тем ближе частота аналогового фильтра – прототипа к частоте цифрового фильтра. Если частота цифрового фильтра удовлетворяет условию , то с погрешностью не более 5% можно считать аналоговую и цифровую частоты одинаковыми.
Указанная нелинейная зависимость вызывает сжатие АЧХ цифрового фильтра по сравнению с АЧХ аналогового фильтра – прототипа. АЧХ цифрового фильтра и аналогового фильтра – прототипа при использовании билинейного Z – преобразования
Чтобы избежать сужения полосы пропускания цифрового фильтра аналоговый прототип рассчитывают, исходя не из граничных частот полосового фильтра, а из частот, определенных по формуле * при подстановке в эту формулу граничных частот полосового фильтра. При этом получают цифровой фильтр с заданными граничными частотами.
Задача. Требуется найти цифровой эквивалент аналоговой RC – цепи, представленной на рисунке где
Дата добавления: 2015-05-09; Просмотров: 464; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |