Принцип наименьшего действия Мопертюи-Лагранжа

Действие S имеет для прямого пути стационарное значение по сравнению с окольными путями.

В этом заключается принцип Гамильтона.

Имеет место обратное утверждение: если для некоторого пути dS = 0, то это путь является прямым.

Поскольку из принципа Гамильтона вытекают уравнения Лагранжа в независимых координатах, то принцип Гамильтона может быть положен в основу динамики голономных систем.

Прямые пути при заданной функции t могут быть охарактеризованы как при помощи дифференциальных уравнений движения в форме Лагранжа, так и при помощи вариационного принципа Гамильтона.

Однако между дифференциальными уравнениями движения и вариационными принципами имеется одно принципиальное различие. Дифференциальные уравнения движения отражают зависимость, связывающую между собой момент времени t, положение системы, скорости и ускорения ее точек в этот момент. Если эта зависимость выполняется в каждой точке некоторого пути, то этот путь является прямым. Вариационный принцип характеризует весь прямой путь в целом. Он формулирует экстремальное (стационарное) свойство некоторого функционала, выделяющее прямой путь среди других кинематически возможных путей.

Вариационные принципы часто используются для новых (неклассических) областей механики.

Механическая система в поле действия потенциальных сил перемещается из состояния в состояние . Считаем, что на всех траекториях система обладает одной и той же механической энергией. Поскольку силы потенциальны, выполняется закон сохранения полной механической энергии E. Следовательно, скорости точек зависят от положения системы в данный момент, и поэтому время, в течение которого система переходит из начального положения в конечное, зависит от траектории движения, совершая перемещение по различным кинематически возможным путям, будет приходить в точку в разные моменты времени t.

В случае обычной консервативной системы действие по Лагранжу в можно представить в виде или .

Принцип Мопертюи-Лагранжа формулируется следующим образом:

Дата добавления: 2015-05-09