Дискретное представление процессов

Цифровые методы анализа

Эта глава посвящена цифровым методам исследования случайных процессов. Большая часть приведенных формул записана для случая, когда обрабатываемые данные представляют собой дискретные временные ряды, являющиеся реализациями стационарных (эргодических) случайных процессов. В главе рассмотрены задача исключения тренда, цифровая фильтрация, построение ряда Фурье и быстрое преобразование Фурье, вычисление плотностей распределения, корреляционных функций и спектральных плотностей, оценивание частотных характеристик и функций когерентности. Изложение ведется для случаев линейных систем с одним или несколькими входными процессами.

В этом разделе описан ряд основных операций, которые могут быть выполнены в цифровой форме при обработке отдельной реализации случайного процесса. Приводимый перечень ни в коей мере не является исчерпывающим, и его не следует автоматически применять ко всем данным наблюдений. Отдельные разделы описываемой ниже процедуры могут быть при необходимости исключены, другие, наоборот, расширены и дополнены, если этого требует конкретная задача. Однако здесь указываются основные операции, которые должна выполнять цифровая ЭВМ, осуществляющая обработку данных наблюдений.

Дискретизация процессов. Пусть в моменты времени, отстоящие друг от друга на интервал времени Dt = h, производится выборка из отдельной реализации u(t) случайного процесса с непрерывным временем. Величина этого интервала определяет рассмотренную частоту свертывания (или частоту Найквиста). Пусть:

- численные значения реализации в N точках

Рис. 10. Дискретное представление непрерывного процесса.

Точка t₀ выбирается произвольно и в случае, если п принимает значения от 1 до N, а не от 0 до N - 1, в дальнейшие формулы не входит.

Определение объема выборки. Объем выборки N следует по возможности определять исходя из желаемой точности последующих оценок. Правила такого выбора рассматриваются в последующих разделах этой главы. Исходные данные могут быть представлены в виде:

Процедура дискретного представления процесса иллюстрируется рис. 10. Заметим, что длина реализации Т_r должна удовлетворять равенству T_r = Nh.

Вычисление среднего значения. Выборочное среднее значение находится в виде:

где N - число отсчетов, а u_n значения отсчетов. Рассчитываемая по этой формуле величина и представляет собой несмещенную оценку истинного среднего значения и.

Дата добавления: 2015-05-09