Ряд Фурье

Ряд Фурье и быстрое преобразование Фурье

Построение ряда и преобразования Фурье теоретически представляют собой различные операции, но в большинстве практических приложений численная реализация этих операций осуществляется одинаковым образом. Это объясняется тем, что для дискретной реализации можно построить ряд или преобразование Фурье только в конечном диапазоне частот, и этот диапазон определяется величиной основного периода при вычислении соответствующего ряда Фурье. Одна из основных причин использования быстрого преобразования Фурье состоит в том, что оно позволяет получить оценки спектральной плотности и корреляционной функции. Прежде чем излагать алгоритм быстрого преобразования Фурье, полезно рассмотреть, каким образом вычисляется обычный ряд Фурье.

Если предположить, что реализация x(t) обладает периодич­ностью и период ее равен Т_р, а основная частота f_x = 1/Т_р, то реа­лизация может быть представлена рядом Фурье

где:

Пусть реализация x(t) имеет конечную длину Т_r = Т_p, равную основному периоду. Предположим также, что она состоит из четного числа N эквидистантных наблюдений с интервалом дискретности h, который выбран таким образом, что частота среза f_c = 1/2h достаточно высока. Будем считать, что нулевая ордината реализации равна нулю, и обозначим, как и прежде, преобразованную последовательность в виде:

(6)

Вычислим теперь по всем N значениям реализации конечный ряд Фурье. Для любой точки t, принадлежащей интервалу (0, Т_р), этот ряд имеет вид:

Коэффициенты А₀ и B₀ определяются выражениями:

Программа для расчета величин A₀ и B₀ должна содержать следующие операции:

1) определение величины 0 = 2pqn/N при фиксированных значениях q и п;

2) вычисление cos q и sin q;

3) вычисление x_n*cos q и x_n*sin q;

4) вычисление суммы для каждого из этих выражений при
n= 1, 2,.... N;

5) приращение аргумента q на единицу и повторение всех перечисленных действий.

Такой способ требует выполнения примерно. N ² операций умножения и сложения действительных чисел.

Поскольку затраты машинного времени и стоимость расчетов зависят от N², при больших N такой стандартный метод вычисления коэффициентов A₀ и B₀ может оказаться дорогостоящим и потребовать значительного времени. Чтобы существенно снизить затраты машинного времени, были разработаны и введены в практику другие способы расчета, получившие название быстрого преобразования Фурье (БПФ). Рассмотрим детально эти важные методы, применяемые для цифрового анализа случайных процессов.

Дата добавления: 2015-05-09