Модифицированный метод Ньютона

Метод Ньютона и метод секущих

Метод Ньютона в случае простого вещественного корня имеет вид

f(x_k)

x_k+1 = x_k - ―――, k = 1,2,…. (8.6)

f ′(x_k)

в случае корня кратности r

x_k+1 - x_k

f ′(x_k)―――― + f(x_k) = 0.

p

Оценка погрешности следующая:

2^k

| х_k - x_* | £ q | x₀ - x_* |, k = 1,2,….

Где

M_p+1|x₀ - x_*|

q = ――――― < 1.

m_pp(p + 1)

Можно пользоваться оценкой погрешности как в методе простой итерации, учитывая, что метод Ньютона

f(x)

sx) = x – p ――

f′(x)

f(x_k)

x_k+1 = x_k - ―――, k = 0, 1, ….

f′(x₀)

применяют в том случае, когда хотят избежать многократного вычисления производной ¦¢(x_k).

В методе Ньютона требуется вычислять производную функции, что не всегда удобно. Можно заменить производную первой разделённой разностью, найденной по двум последним итерациям. Тогда вместо метода Ньютона (8.6) получим метод секущих

(x_k – x_k-1)f(x_k)

x_k+1 = x_k - ――――――

f(x_k) – f(x_k-1)

Для начала процесса требуется знать значения х₀ и х₁.

ЗАДАНИЯ К ЛАБОРАТОРНОЙ РАБОТЕ.

1.Отделить вещественные корни аналитически или графически.

2.Уточнить корни делением отрезка пополам (если это возможно) с точностью до 0.1.

3.Уточнить корни заданным методом с заданной точностью.

Для метода Ньютона и метода простой итерации число итераций, необходимое для достижения заданной точности, выбрать заранее, сделав вручную оценку погрешности. Для остальных методов итерации прекращаются после того, как разность двух последовательных приближений становится меньше заданной точности.

4.Проверить результаты подстановкой найденных значений в уравнение.

ВАРИАНТЫ

1. Найти все корни уравнения

1000000 x⁴ - 3000 x³ + 1000002 x² - 3000 х + 2 = 0

с точностью 0.0001 методом а) Ньютона б) секущих.

2. Найти все корни уравнения

x⁴ - 10001.01 x³ -9800.01 x² - 999901 х + 10000 = 0

с точностью 0.001 а) методом Ньютона б) Модифицированным методом Ньютона.

3. Найти все корни уравнения

sin (1/х) = х

на отрезке [0.1; 0.5] с точностью 0.001 методом Ньютона.

4. Найти все корни уравнения

arctg (3x) = х

методом простой итерации с точностью до 0.001 сделав предварительную оценку погрешности.

5. Найти корень уравнения

x⁴ - 20 x³ + 101 x² - 20 х + 1 = 0

на отрезке [-1,1] с точностью 0.0001 методом Ньютона с параметрами

р=1 и р=2. Сравнить количества итераций необходимые для достижения

заданной точности.

6. Найти корень уравнения

x e^х = 1

с точностью 0.0001 методом Ньютона и модифицированным методом Ньютона. Итерации производить пока разность между соседними итерациями не станет меньше заданной точности. Сравнить необходимые количества итераций.

7. Найти все корни уравнения

x⁵ - 3 x² + 1 = 0

методом парабол с точностью 0.0005.

8. Найти вещественные корни уравнения

x ² = sin x + 1

методом парабол с точностью 0.001.

9. Выяснить, к какому из корней 0, 1,-1 уравнения

x³ - х = 0

сходится метод Ньютона, если начинать с произвольного начального приближения. Какие начальные приближения дают расходимость метода?

10. Найти все корни уравнения

x³ + 3 x² - 1 = 0

методом простой итерации с точностью 0. 0005.

11. Найти все корни уравнения

х ⁴ - 10000.01 x³ +101 x² - 10000.01 х + 100 = 0

с точностью до 0.001 а) методом Ньютона б) модифицированным методом Ньютона.

12. Найти корень уравнения

arccos (x/2) = x²

на отрезке [0,2] а) методом Ньютона б) модифицированным методом Ньютона.

13. Найти все корни уравнения

x⁴ – 0.015х³ + 0.3х² + х – 1 = 0

с точностью 0.00001 методом а) Ньютона б) секущих.

14. Найти корень уравнения

х³ – sin (2x) = 1

методом парабол с точностью 0.001.

15. Найти все корни уравнения

х³ – 1777х² + 777 = 0

на отрезке [-1,1] методом парабол с точностью до 0.0001

16. Найти все корни уравнения

5555х⁴ – 555х³ – 55х² – 5х = 0

с точностью 0.00001 методом а) Ньютона б) секущих.

17. Найти корень уравнения

arctg (7x) = 0.2

на отрезке [-1,1] а) методом Ньютона б) модифицированным методом Ньютона.

18. Найти корень уравнения

sin (x⁴) = 1 – 2x

методом парабол с точностью 0.0001.

19. Найти корень уравнения

x²e^2x = 1

с точностью 0.001 методом Ньютона. Итерации производить пока разность между соседними итерациями не станет меньше заданной точности. Сравнить необходимые количества итераций.

20. Найти все корни уравнения

x³ – 45x² + 43 = 0

на отрезке [-2,1] а) модифицированным методом Ньютона б) методом секущих.

21. Найти корень уравнения

arcsin (x) + e^x = 2

методом простой итерации с точностью до 0.001 сделав предварительную оценку погрешности.

22. Найти все корни уравнения

54x⁴ + x² – 0.0000001 =0

с точностью 0.00001 методом а) Ньютона б) секущих.

23. Найти все корни уравнения

tg (x/3) – x³ = 0

методом парабол с точностью 0.001.

24. Найти все корни уравнения

12x⁴ + 11x³ –10x² –999 = 0

на отрезке [-3.5,3] с точностью 0.0001 методом Ньютона с параметрами

р=1 и р=2. Сравнить количества итераций необходимые для достижения

заданной точности.

25. Найти корень уравнения

x⁴e^4x = 444

с точностью 0.0001 методом Ньютона и модифицированным методом Ньютона. Итерации производить пока разность между соседними итерациями не станет меньше заданной точности. Сравнить необходимые количества итераций.

ОТВЕТЫ:1) 0,0100; 0,0200 2) 0,688; 10000 3) 0,107; 0,155; 0,361 4) –1,32; 0; 1,32 5) 0,0917; 0,1125 6) 0 7) –0,5611; 0,5992; 1,348 8) –0,637; 1,41 9) –1; 0; 1 10) -2,879; -0,6527; 0,5321 11) 0,231; 10000 12) 1,01817183 13) –1,1468; 0,66935; 1 14) 1,191 15) -0,6611; 0,6614 16) –0,09811;0,19695 17) 0,028959 18) 0,4746 19) 0,987 20) –0,9672; 0,9884; 44,98 21) 0,4369 22) +/- 0,0003 23) +/- 0,581; 0 24) -3,36; 2,875 25) 1,2784.

Дата добавления: 2015-05-10