Примеры вычисления производных

Производные высшего порядка

Пусть мы нашли для функции y = f(x) ее производную y ^'= f ^'(x). Производная от этой производной называется производной второго порядка функции f(x), или второй производной, и обозначается . Аналогично определяются и обозначаются: производная третьего порядка - , производная четвертого порядка - и вообще производная n-го порядка - .

Пример 3. 15. Вычислить производную функции y=(3x³-2x+1)×sin x.

Решение. По правилу 3, y'=(3x³-2x+1)'×sin x + (3x³-2x+1)×(sin x)' = = (9x²-2)sin x + (3x³-2x+1)cos x.

Пример 3.16. Найти y', y = tg x + .

Решение. Используя правила дифференцирования суммы и частного, получим: y'=(tgx + )' = (tgx)' + ()' = + ₌ .

Пример 3. 17. Найти производную сложной функции y= , u=x⁴ +1

. Решение. По правилу дифференцирования сложной функции, получим: y'_x =y '_u u'_x =()'_u(x⁴ +1)'_x =(2u + . Так как u=x⁴ +1, то y'_x=(2 x⁴ +2+ .

Пример 3. 18. Найти производную функции y= .

Решение. Представим функцию y= в виде суперпозиции двух функций: y = e^u и u = x². Имеем: y'_x =y '_u u'_x = (e^u)'_u(x²)'_x = e^u ×2x. Подставляя x² вместо u, получим y=2x .

Пример 3. 19. Найти производную функции y=ln sin x

. Решение. Обозначим u=sin x, тогда производная сложной функции y=ln u вычисляется по формуле y' = (ln u)'_u(sin x)'_x= .

Пример 3.20. Найти производную функции y= .

Решение. Случай сложной функции, полученной в результате нескольких суперпозиций, исчерпывается последовательным применением правила 5: .

Пример 3.21. Вычислить производную y=ln .

Решение. Логарифмируя и используя свойства логарифмов, получим: y=5/3ln(x²+4) +7/3ln(3x-1)-2/3ln(6x³+1)-1/3tg 5x. Дифференцируя обе части последнего равенства, получим:

.

Дата добавления: 2015-05-10