Вказівки та зразки розв’язування задач. 2 страница

б) . Скористаємося правилом диференціювання частки двох диференційованих функцій, а потім знаходимо похідні складних функцій:

в) .

Задану функцію прологарифмуємо, а пізніше знаходимо як похідну складної функції:

9. Підприємство за місяць виготовляє х одиниць продукції. Сумарні витрати виробництва описуються функцією , - залежність між питомою ціною і кількістю одиниць продукції х, яку можна продати по цій ціні. Розрахувати, за яких умов прибуток буде максимальним. Визначити маржинальні і сумарні витрати, прибуток при цих умовах.

Розв’язування. Прибуток визначається як різниця між доходами і сумарними витратами виробництва .

В нас дохід -

сумарні витрати -

прибуток -

Знайдемо маржинальний прибуток - .

Максимальним прибуток буде тоді, коли оскільки

При цьому ; ; .

Отже, щоб прибуток був максимальним, треба випускати 120 од. продукції.

Маржинальні витрати -

сумарні витрати

.

Максимальний прибуток

.

10. Знайти розміри відкритого басейну з квадратним дном об’ємом 32 м³, за яких на облицювання його стін і дна пішла б найменша кількість матеріалу.

Розв’язування. Нехай дно басейну - квадрат з стороною , а висота басейну . Площа дна басейну: . Об’єм басейну: . Площа, яка необхідна для облицювання відкритого

басейну Оскільки то

Дослідимо функцію S(x).

Знайдемо її похідну

Знаходимо критичні точки: , ,

.

Вияснимо, як поводить себе функція при переході через критичну точку .

Обчислимо: ,

Оскільки, похідна функції змінює знак з “-” на “+” при переході через цю критичну точку, то точка є точкою мінімуму.

При ширині дна квадратної форми 4 м, площа облицювання відкритого басейну буде найменша.

Знайдемо висоту басейну

Отже, розміри відкритого басейну будуть такі: дно квадратної форми має сторону квадрата 4м, висота басейну 2м.

11. При відомій функції попиту і пропозиції S=S(p)=р+1, де Q і S -кількість товару; p -ціна товару.

Знайти:

а) рівноважну ціну, тобто ціну, при якій попит і пропозиція врівноважуються;

б) еластичність попиту і пропозиції для рівноважної ціни;

в) зміну доходу при підвищенні ціни на 5% від рівноважної.

Розв’язування.

а) рівноважна ціна – ціна, при якій попит і пропозиція врівноважуються. Тому, рівноважна ціна визначається з рівняння р=3 грн.

б) знаходимо еластичність попиту і пропозиції за формулами:

В даному випадку

Для рівноважної ціни р=3 маємо

Знайдені значення еластичності за абсолютною величиною менші за 1, тоді і попит, і пропозиція даного товару при рівноважній ціні нееластичні відносно ціни, тобто зміна ціни не призведе до різкої зміни попиту і пропозиції. Так, при підвищенні ціни на 1%, попит зменшиться на

0,75%, а пропозиція підвищиться на 0,75%.

б) при підвищенні ціни p на 5% від рівноважної, попит зменшиться на , а дохід зросте на 3,75%.

12. Дослідити та побудувати ескіз графіка функції .

Розв’язування.

1. Знаходимо область визначення функції: ] -¥; 2 [È] 2; +¥ [.

2. Знаходимо точки перетину прямої з осями координат.

Якщо y=f(x) перетинає вісь Ох, то у=0. Якщо у=0, то х=0.

3. Досліджуємо функцію на парність.

. Функція є ні парна, ні непарна.

4. Досліджуємо функцію на неперервність.

В т. х=2 функція має розрив (знаменник рівний нулю, функція невизначена.). . Це є розрив ІІ роду.

5. Знаходимо асимптоти кривої. Вертикальна асимптота х=2, тому що .

Похилу асимптоту шукаємо у вигляді y=kx+b, де ,

b = .

;

.

Отже, рівняння похилої асимптоти має вигляд: у=х+2.

6. Досліджуємо функцію на екстремум:

Критичні точки: х=0, х=2, х=4.

Зобразимо числову пряму і проміжки монотонності:

т. х=0 – точка максимуму, f(0)=0;

т. х=4 – точка мінімуму, f(4)= .

Зробимо малюнок.

13. Мале підприємство виробляє товари А і В. Загальні щоденні витрати V (у гривнях) на виробництво х одиниць товару А та у одиниць товару В відомі: V=320 – 14х-10у+ 0, 2 х²+ 0, 1 у². 1)Визначити кількість одиниць товарів А і В, яку потрібно виробляти, щоб загальні витрати підприємства були мінімальними.

Розв’язування. Загальна функція витрат відома: V=320–14x–10y+0, 2х²+0,1 у. ² Щоб знайти кількість одиниць товарів х товару А і у товару В, необхідно дослідити цю функцію на екстремум.

Знайдемо частинні похідні І-го порядку

Прирівнюючи їх до нуля, одержимо систему рівнянь

Знайдемо частинні похідні II порядку:

Обчислимо D=АС-В²=0, 4 0, 2-0=0, 08 > 0 і А=0, 4 > 0

Отже, функція витрат при х =35, у=50 досягає мінімуму. Це означає, що для того, щоб загальні витрати підприємства були мінімальними, необхідно виробити 35 одиниць товару А і 50 одиниць товару В.

14. Нехай виробнича функція визначається функцією Кобба-Дугласа. Щоб збільшити випуск продукції на 5%, треба збільшити фонди на 10% або чисельність робітників на 15%. В 2001 році один робітник за місяць виготовляв продукції на 2000 грн., а всього робітників було 1000. Основні фонди оцінювались в 4 млн. грн. Записати виробничу функцію, величину середньої фондовіддачі і середньої продуктивності праці, еластичність випуску по праці і по фондах.

Розв’язування. Еластичність випуску по праці , а по фондах Отже, функція Кобба-Дугласа має вигляд: ,

Підставляючи інші величини, одержимо:

, тобто

Отже, шукана виробнича функція Середня фондовіддача дорівнює а середня продуктивність , .

15. Знайти невизначені інтеграли: а) ,

б) , в) , г) , д) , е) є) ,

ж) .

Розв’язування.

а) .

Зробимо підстановку:

Продиференціюємо: . Тому

б)

в) .

Застосовуємо метод інтегрування за частинами:

Вибираємо: u=x, dv=sin3xdx. Тоді du=dx, v= cos3x.

Тобто: .

г)

Знову інтегруємо методом інтегрування за частинами.

Підінтегральний вираз є добутком показникової функції на тригонометричну. Виберемо u= , а dv = . Тоді , Застосуємо двічі цю формулу. Два разиза u беремо . Одержуємо .

Знаходимо шуканий інтеграл:

г) .

Підінтегральний раціональний дріб неправильний.

Виділяємо цілу частину:

-
	x+2+
-
7x-4

.

Використовуючи метод невизначених коефіцієнтів, розкладаємо дріб на суму простих: ; ;

В=5; А=2. Одержимо:

Тобто .

е)

Розкладемо підінтегральну функцію, яка є правильним раціональним дробом, на суму найпростіших дробів за допомогою неозначених коефіцієнтів Звідси,

Прирівнюємо коефіцієнти при однакових степенях :

.

Тоді

є) .

Враховуємо, що cos³x=cos²xcosx, та cosxdx=dsinx. Тоді

ж) .

За допомогою універсальної підстановки , даний інтеграл зводимо до інтегралу від раціонального дробу. Використавши формули

; , отримаємо:

. Одержимо інтеграл від правильного дробу. Розкладемо підінтегральну функцію на прості дроби: . Звідси: . Прирівнюємо коефіцієнти при однакових степенях і складаємо систему рівнянь:

Тоді,

16. Обчислити визначений інтеграл .

Розв’язування. Зробимо підстановку .

Продиференціюємо цю рівність .

Встановимо нові межі інтегрування.

При , при . Тоді

17. Обчислити площу криволінійної трапеції, обмеженої лініями , .

Розв’язування. Для знаходження меж інтегрування знайдемо точки перетину ліній, розв’язавши систему рівнянь.

; ; .

Отже, площа фігури, яку треба знайти, обмежена заданими кривими, що перетинаються у точках з абсцисами , .

.

18. Обчислити об’єм тіла обертання утвореного обертанням навколо осі Ох фігури, обмеженої лініями , .

Розв’язування. Щоб знайти межі інтегрування розв’яжемо систему рівнянь

, .

Об’єм тіла обертання знаходиться за формулою

.

Отже, на основі цього маємо

(куб. од.).

19. Швидкості зміни витрат і доходу підприємства після початку його діяльності визначались формулами:

і вимірювали у мільйонах гривень, а - у роках. Визначити тривалість прибуткового існування підприємства і знайти загальний прибуток, що одержали за цей час.

Розв’язування. Оптимальний час для прибутку підприємства одержимо з умови

Отже, підприємство було прибутковим 1 рік. За цей час одержано прибутку:

20. Знайти загальний розв’язок (загальний інтеграл) диференціальних рівнянь та розв’язати задачу Коші для тих рівнянь, де вказані початкові умови.

а) , б) ; при , в) , г) , д) е) , є) , ж) .

Розв’язування.

а) . Це рівняння з відокремлюваними змінними. Розділимо змінні, поділивши обидві частини рівняння на . Одержимо . Проінтегруємо одержане рівняння ; , .

Дата добавления: 2015-05-26