Пример 7.3

Применяя метод Эйлера, составить на отрезке [1; 1,5] таблицу значений ДУ при начальных условиях у (1) = 0,77, у^’ (1) = - 0,44 с шагом h = 0,1.

С помощью подстановки у^’ = z, у^’’ = z^’ заменим данное уравнение системой уравнений

при начальных условиях у (1) = 0,77, z (1) = - 0,44

Результаты расчета приведены в табл. 7.2

Таблица 7.1 – Решение системы ДУ

i	xi	yi	yi^’ = z	Δ yi = yi^’ · h	zi	zi^’ = - zi / xi - yi	Δ zi = zi^’ · h
	1,0	0,77	-0,44	-0,044	-0,44	-0,33	-0,033
	1,1	0,726	-0,473	-0,0473	-0,473	-0,296	-0,03
	1,2	0,679	-0,503	-0,0503	-0,503	-0,26	-0,026
	1,3	0,629	-0,529	-0,0529	-0,529	-0,222	-0,022
	1,4	0,576	-0,551	-0,0551	-0,551	-0,183	-0,018
	1,5	0,521

7.3.2 Метод Эйлера Коши

Сначала вычисляется значение функции в следующей точке по методу Эйлера

которое затем используется для вычисления приближенного значения производной в конце интервала .

Вычислив среднее арифметическое между значениями производной (наклонами ломаных) в начале и конце интервала, найдем более точное значение у_{i +1} (формула Эйлера-Коши):

где х_{i+ 1} = х_i + h.

Принцип, на котором основано улучшение метода Эйлера, можно пояснить и иначе – на основе использования разложения функции в ряд Тейлора. Точность повышается за счет того, что сохраняются в разложении члены, содержащие производные более высоких порядков, чем первый. Для улучшения метода Эйлера надо знать вторую производную. Ее можно аппроксимировать конечной разностью

Если ее подставить в ряд Тейлора, то результатом будет формула Эйлера-Коши.

Пример 7.4.

Решить ДУ на интервале [0, 1] с шагом h = 0,25 методом Эйлера - Коши. Начальные условия: y (x ₀) = у ₀ = 0.

Решение выполняется по формулам:

у ^* _{i +1} = y_i + h f (x_i, y_i),

Первый шаг: i = 0, x ₀ = 0, y ₀ = 0

у ^*₁ = y ₀ + h (2 x ₀ – y ²₀ + х ⁴₀) = 0 + 0,25·(2∙0 – 0² + 0⁴) = 0;

x ₁ = x ₀ + h = 0 + 0,25 = 0,25

у ₁ = у ₀ + 0,5 h [(2 x ₀ – y ²₀ + х ⁴₀) + (2 x ₁ – (y ₁*)² + х ⁴₁)] =

= 0 + 0,5·0,25·[(2∙0 – 0² + 0⁴) + (2∙0,25 – 0² + 0,25⁴) = 0,063;

Второй шаг: i = 1, x ₁ = 0,25, y ₁ = 0,063

y ^*₂ = y ₁ + h (2 x ₁ – y ²₁ + х ⁴₁) = 0,063 + 0,25·(2∙0,25 – 0,063² + 0,25⁴) = 0,188;

x ₂ = x ₁ + h = 0,25 + 0,25 = 0,5

у ₂ = у ₁ + 0,5 h [(2 x ₁ – y ²₁ + х ⁴₁) + (2 x ₂ – (y ₂*)² + х ⁴₂)] =

= 0,063 + 0,5·0,25·[(2∙0,25 – 0,063² + 0,25⁴) + (2∙0,5 – 0,188² + 0,5⁴)] = 0,254;

Третий шаг: i = 2, x ₂ = 0,5, y ₂ = 0,254

y ^*₃ = y ₂ + h (2 x ₂ – y ²₂ + х ⁴₂) = 0,254 + 0,25·(2∙0,5 – 0,254² + 0,5⁴) = 0,5035:

x ₃ = x ₂ + h = 0,5 + 0,25 = 0,75

у ₃ = у ₂ + 0,5 h f [(2 x ₂ – y ²₂ + х ⁴₂) + (2 x ₃ – (y ₃*)² + х ⁴₃)] =

= 0,254 + 0,5·0,25·[(2∙0,5 – 0,254² + 0,5⁴) + (2∙0,75 – 0,5035² + 0,75⁴)] = 0,574.

7.3.3 Усовершенствованный метод Эйлера

Сущность усовершенствованного метода Эйлера состоит в следующем: сначала вычисляются вспомогательные значения искомой функции y_{i +1/2} в точках x_{i +1/2} = x_i + h/2 помощью формулы

,

затем находят значение f (x,y) в средней точке и определяют

.

Оценка погрешности в точке х_i может быть получена с помощью «двойного просчета»: расчет повторяют с шагом h /2 и погрешность более точного (при шаге h /2) оценивают приближенно по формуле

где у (х) – точное решение ДУ.

Дата добавления: 2015-05-26