Условия однозначности для уравнения теплопроводности

Условие однозначности – совокупность условий, которыми данная задача однозначно определяется.

К уравнению теплопроводности следует добавить условие однозначности:

1) геометрические условия, характеризующие форму и размеры тела или системы тел, в которых протекает тепловой процесс;

2) физические условия, характеризующие физические свойства рассматриваемой среды или тела;

3) временные условия, характеризующие распределение температуры в рассматриваемой среде или теле в начальный момент времени (начальные условия);

4) граничные условия, характеризующие тепловое взаимодействие рассматриваемого тела с окружающей его средой.

Совокупность последних двух условий (начальных и граничных) называются краевыми условиями.

Начальные условия заключаются в задании распределения значений температуры в начальный момент времени (t=0), т.е. предшествующему расчетному. Они должны быть заданы в виде функций:

1) Т(t=0) = f₁ (x,y,z) – пространственная задача;

2) Т(t=0) = f₂ (x,y) – плоская задача;

3) T(t=0) = f₃ (x) – линейная задача.

В частных случаях f_i = const независящая от координат. Одно начальное условие.

Граничные условия характеризуют тепловые условия на поверхности тела.

Граничные условия бывают 4-х видов:

1) граничные условия первого рода заключаются в том, что задается температура во всех точках поверхности тела в течение времени t:

Т_п = [x,y,z,f(x)];

П – поверхность тела;

2) если известно количество теплоты, поступающей извне в тело или уходящего из тела, то такое граничное условие называют граничным условием второго рода и заключается оно в том, что задается удельный тепловой поток через поверхность тела:

Может быть q(t)=q₀=соnst, то есть тепловой поток не изменяется со временем. Частным случаем является условие тепловой изоляции поверхности q_п =0, при этом:

3) граничные условия третьего рода: количество теплоты, отдаваемое или получаемое единицей поверхности с температурой Т_п за единицу времени в окружающую среду с температурой Т_с, прямо пропорционально разности температуры поверхности и окружающей среды (закон теплообмена Ньютона):

q_п = α*(Т_п - Т_с)

С учетом закона Фурье для q_п это условие имеет вид:

В этом условии должны быть заданы коэффициент теплоотдачи α и температура окружающей тело среды Т_с.

4) граничные условия четвертого рода заключается в том, что задается равенство температуры и удельных тепловых потоков на поверхности соприкосновения (границе раздела двух разных тел 1 и 2):

Т_1п = Т_2п;

Решением уравнения теплопроводности является трехкратное интегрирование. При решении конкретных задач задается 3 условия: 1 начальное и 2 конечных.

Дата добавления: 2015-05-26