Принятие оптимальных решений в экономике 2 страница

г) множеством субъектов, вовлеченных в процесс реализации каждого управленческого решения (каждый участник хозяйственно-экономического процесса располагает своим множеством целей, каждой из которых соответствуют свои критерии оценки и свои требования к значениям этих критериев).

В условиях многокритериального выбора, когда найти однозначное решение не удается, возникает необходимость в поиске компромиссных решений.

3.2. Использование принципа доминирования для многокритериального выбора оптимального решения

Принципы доминирования и Парето в последнее время находят все более широкое применение при многокритериальном выборе оптимальных решений ([2], [5]).

При многокритериальной оптимизации принимаемых решений первым шагом всегда необходимо применить к рассматриваемым альтернативам принцип доминирования. Формулировка данного принципа звучит следующим образом:

Если из двух сравниваемых альтернатив Х₁ и Х₂ альтернатива Х₁ не уступает по любому из критериев альтернативе Х₂ и хотя бы по одному из критериев превосходит ее, то альтернатива Х₁ превосходит альтернативу Х₂.

Формализованно это можно записать следующим образом: если для и такое, что , то . В этом случае говорят, что альтернатива Х₁ доминирует над альтернативой Х₂.

Применение принципа доминирования к множеству рассматриваемых альтернатив имеет целью исключение из дальнейшего рассмотрения альтернатив, заведомо проигрывающих остальным. Для этого отбираются те альтернативы, в отношении которых выполняется принцип доминирования для всех остальных рассматриваемых вариантов.

Пример. Сравниваются четыре предприятия по критериям КТЛ и коэффициента обеспеченности собственными средствами. Данные по предприятиям приведены в табл. 6.

Таблица 6

Данные по четырем предприятиям для отбора – КТЛ и коэффициент обеспеченности собственными средствами

Предприятие	КТЛ	КОСС
Предприятие 1	2,15	0,42
Предприятие 2	2,64	0,73
Предприятие 3	3,02	0,57
Предприятие 4	2,5	0,64

Видим из табл.6, что первый вариант уступает трем другим и по КТЛ, и по коэффициенту обеспеченности собственными средствами:

КТЛ₁ < КТЛ₂, ,

КТЛ₁ < КТЛ₃, ,

КТЛ₁ < КТЛ₄, ,

Поэтому по результатам анализа множества рассматриваемых альтернатив с позиций принципа доминирования предприятие 1 может быть исключено из рассмотрения как заведомо неэффективное по сравнению с другими вариантами.

Иногда оказывается, что одна из сравниваемых альтернатив доминирует над всеми остальными. В этом случае уже на основании принципа доминирования можно выбрать единственное оптимальное решение, однако такие ситуации возникают чисто случайно и не носят характера общей закономерности.

3.3. Использование принципа Парето для многокритериального выбора оптимального решения

Если принципа доминирования оказывается недостаточно для выбора единственного решения, к множеству сравниваемых альтернатив применяется принцип Парето. Принцип Парето позволяет вычленить из множества сравниваемых альтернатив область эффективных решений. Варианты, попавшие в данную область, признаются несравнимыми между собой и в равной мере могут выступать в качестве оптимального решения.

Обозначим множество сравниваемых альтернатив через М. Суть принципа Парето такова.

Если на множестве сравниваемых альтернатив М можно выделить такое подмножество М _Э такое, что:

а) ни для какой альтернативы не существует альтернативы , такой, что S₂ доминирует над S₁;

б) для любой альтернативы найдется альтернатива , такая, что S₂ доминирует над S₁,

то множество альтернатив М _Эявляется неулучшаемым по совокупности критериев {К_i}, а входящие в его состав альтернативы – несравнимыми между собой.

Такие альтернативы получили название оптимальных по Парето, а образуемое ими подмножество М _Э множества М – областью эффективных решений или паретовской областью.

Принципу Парето, как правило, придают графическую интерпретацию. Введем координатную плоскость, по осям которой отложим значения критериев отбора. Рассмотрим случай, когда эффективность принимаемого решения возрастает с возрастанием каждого из критериев К ₁ и К ₂.

К ₁

К ₂

S₁

S₂

S₃

S₄

S₅

Рис.1. Формирование области эффективных решений по принципу Парето. Оба критерия необходимо максимизировать

Выбираются варианты, обеспечивающие максимум по каждому показателю по отдельности. В данном случае (рис.1) по критерию К ₁ оптимальное значение – S₄, а по критерию К ₂ – вариант S₃. Через точки, соответствующие этим вариантам, проводятся прямые, параллельные координатным осям. Пересечение прямых образует прямоугольник, который ограничивает область анализа. Внутри области анализа необходимо проверить наличие вариантов, в отношении которых выполняется принцип доминирования. Из рис.1 видно, в частности, что вариант S₃ проигрывает варианту S₂ по обоим критериям, следовательно, в область эффективных решений, оптимальных по Парето, попадают 3 варианта – S₂, S₄ и S₅.

Для случая, когда эффективность принимаемых решений падает с ростом К ₁ и К ₂ (рис.2, а), отличие заключается в том, что выбираются альтернативы, обеспечивающие минимум по каждому критерию (S₁ и S₃ соответственно). Поскольку вариант S₅ превосходит вариант S₂ по обоим показателям (см. рис.), то его следует исключить из области эффективных решений, в которой остаются 3 альтернативы – S₁, S₃ и S₅.

В случае, когда эффективность принимаемого решения возрастает в зависимости от одного критерия (для определенности – К ₁) и убывает в зависимости от другого (К ₂), методика построения области эффективных решений аналогична (рис.2, б). Выбираются варианты, обеспечивающие максимум по критерию К ₁ (S₄) и минимум по критерию К ₂(S₁). Вариант S₂ доминирует над вариантом S₅ (см. рис.), поэтому он не включается в область эффективных решений. В область эффективных решений попадают варианты S₁, S₂ и S₄.

Рис.2. Формирование области эффективных решений по принципу Парето, оба критерия необходимо минимизировать (а), критерий К₁ максимизируется, а критерий К₂ минимизируется (б).

К₁

К₂

S₁

S₂

S₃

S₄

S₅

а)

К₁

К₂

S₁

S₂

S₃

S₄

S₅

б)

В случае, когда число критериев оптимальности превышает два, координатные плоскости строятся для всех возможных пар критериев. Альтернатива включается в общую область эффективных решений, если она попадает в область эффективных решений хотя бы по одной из пар критериев.

4.4. Методы формирования окончательного решения

4.4.1. Метод формирования комплексных показателей

Поскольку в соответствии с принципом Парето при многокритериальной оптимизации в подавляющем большинстве случаев выбор единственного оптимального решения невозможен, то появляется естественное стремление избежать многокритериального выбора. Как один из возможных способов перехода от многокритериальной оптимизации к однокритериальной в 60 – 70-е гг. активно рассматривался метод формирования комплексных показателей.

Пусть множество сравниваемых вариантов анализируется по совокупности критериев К ₁, К ₂, …, К_N. Путей объединения их в единый комплексный критерий множество, наиболее очевидными являются следующие правила:

,

или

.

Здесь К _к– комплексный критерий эффективности, а a _i – весовой коэффициент, равный 1, если эффективность принимаемого решения возрастает с возрастанием частного критерия К_i, и –1, если эффективность принимаемого решения с ростом К_i убывает.

При использовании правила суммы в качестве базового значения i-го критерия оценки, используемого для устранения размерности суммируемых показателей, может приниматься:

а) наилучший из ранее достигнутых результатов (например, соответствующий параметр наилучшего из аналогов для нового товара);

б) предельно достижимый результат по данному показателю;

в) нормативное значение данного параметра, если оно имеется (например, 2 для коэффициента текущей ликвидности или 20% для рентабельности продукции).

Существенным недостатком комплексных показателей, формируемых по традиционным формулам, является неучёт исходного разброса значений критериев, сводимых в комплексный показатель. При этом наибольшее влияние на комплексный критерий эффективности оказывает не наиболее важный с точки зрения лица, принимающего решение, показатель, а показатель, имеющий наибольший разброс исходных значений по множеству сравниваемых альтернатив. Во избежание данного эффекта исходные показатели можно приводить к единому интервалу измерения. Делается это по следующим формулам. Если эффективность сравниваемых вариантов повышается с ростом К_i, то формула для расчета соответствующего этому критерию приведенного показателя выглядит так:

.

Если же с ростом К_i эффективность сравниваемых вариантов снижается, то приведенный показатель можно определить по формуле:

.

Здесь и – соответственно максимальное и минимальное значения показателя К_i для предложенных альтернатив.

Нетрудно убедиться, что для обеих этих формул наилучшему значению показателя K_i соответствует , а наихудшему – . Промежуточным значениям K_i в силу линейности произведенного преобразования соответствуют промежуточные значения из интервала ]0; 1[. Таким образом, приведение показателей к единому интервалу измерения позволяет добиться следующих преимуществ:

1) исключить влияние разброса исходных значений параметров на величину комплексного критерия и на результаты выбора (все показатели, используемые в формуле комплексного критерия, изменяются в одних и тех же пределах – от 0 до 1);

2) устранить разную размерность показателей;

3) унифицировать требования к показателям (поскольку оптимальные значения всех приведенных показателей равны нулю, а наихудшие – единице, то все приведенные показатели для повышения эффективности альтернатив следует минимизировать).

Показатели, приведенные к единому интервалу измерения, безразмерны и все подлежат минимизации. Поэтому в качестве комплексного критерия можно принять их сумму:

.

Произведение для показателей, приведенных к единому интервалу измерения, не используется, поскольку обязательное равенство нулю оптимального значения любого показателя привело бы в данном случае к равенству нулю комплексного критерия для всех вариантов, обеспечивающих оптимальное значение хотя бы по одному исходному показателю. Это сделало бы выбор оптимального решения невозможным.

Основным недостатком любых комплексных показателей является то, что они не учитывают реальных требований субъекта, принимающего решения (выраженных исходным множеством критериев), и являются чисто математической абстракцией. Следовательно, решения, принимаемые на основании таких комплексных критериев, во многом формальны, вследствие чего не могут претендовать на то, чтобы считаться действительно разумным компромиссом между противоречивыми целями субъекта, принимающего решения. По этой причине данный метод, широко распространенный в инженерной практике, в экономике и управлении находит лишь ограниченное применение.

4.4.2. Ранжирование альтернатив

Еще одним методом устранения проблемы конфликта критериев служит ранжирование предложенных вариантов. Допустим, требуется осуществить выбор одной из N альтернатив – S ₁, S ₂, …, S_N – по критериям К ₁ и К ₂. Допустим при этом, что оптимальные решения по К ₁ и по К ₂ не совпадают. Тогда для расстановки предпочтений между вариантами прибегают к их раздельному ранжированию по каждому из показателей. Для начала берут критерий К ₁, и оптимальному по данному показателю варианту присваивают ранг 1. Следующему за ним по величине К ₁ варианту присваивается ранг 2 – и так далее. Наихудшему с точки зрения показателя К ₁ варианту следует присвоить ранг N. Аналогичная процедура повторяется для показателя К ₂. У каждой альтернативы оказывается таким образом два ранга – по критерию К ₁ и по критерию К ₂. Причем наилучшему из вариантов соответствует наименьший ранг (единица). Если теперь для каждого варианта определить сумму рангов, назначенных ему по всем критериям, то по минимуму суммарного ранга можно однозначно определить оптимальный вариант.

Пример. Допустим, имеются данные по отраслям малого предпринимательства в районе (табл. 7). Требуется определить в каких отраслях целесообразнее поддерживать малое предпринимательство.

Таблица 7

Развитие малого предпринимательства по отраслям

Отрасль	Число занятых	Прибыль	Требуемые инвестиции	ФЗП
Промышленность
Сельское хозяйство		-28
Транспорт		-386
Строительство
Торговля
Наука		-1511
Материально-техническое снабжение и сбыт

Развитие малого предпринимательства с точки зрения интересов района преследует в основном две цели – решение проблемы безработицы и увеличение налоговых поступлений в бюджет. Поэтому все предложенные показатели с точки зрения интересов районного бюджета следует максимизировать. Поэтому ранг 1 присваивается каждый раз наивысшему значению показателя (см. табл. 8)

Таблица 8

Ранжирование отраслей малого предпринимательства по четырем показателям

Отрасль	Число занятых	Прибыль	Требуемые инвестиции	ФЗП	S
Зн-е	ранг	Зн-е	ранг	Зн-е	ранг	Зн-е	ранг
Промышленность
Сельское хозяйство			-28
Транспорт			-386
Строительство
Торговля
Наука			-1511
МТС и сбыт

В последнем столбце табл. 8 приведены значения суммарного ранга для каждой отрасли. Видим, что наименьшим значением суммарного ранга обладают две отрасли – строительство и промышленность, причем их суммарные ранги равны, и предпочесть один из этих двух вариантов невозможно – они равноценны. Следовательно, бюджету следует в одинаковой степени стимулировать развитие малого предпринимательства в этих двух отраслях (заметим, что варианты, находящиеся в области Парето, не равноценны, а именно несравнимы, путем же ранжирования мы приходим к определенному результату).

Метод ранжирования альтернатив позволяет решить более общую задачу, нежели простой выбор наилучшего варианта. Данным методом можно все предложенные альтернативы расположить в порядке предпочтительности, чего с помощью принципа Парето сделать было принципиально невозможно.

4.4.3. Метод выделения главного показателя при переводе остальных в разряд ограничений

Широко распространенным методом многокритериального выбора является метод выделения главного показателя и перевода остальных в разряд ограничений. Данный метод достаточно прост и очевиден. Из всего множества критериев оптимальности выделяется один, оптимизация (максимизация или минимизация) которого для субъекта, принимающего решение, наиболее важна с точки зрения достижения его целей. На остальные показатели накладываются ограничения. При формировании системы таких ограничений исходят из следующих соображений:

- макроэкономической реальности, хозяйственно-экономического законодательства (например, рентабельность продаж предприятия – не ниже ставки НДС, его КТЛ – не меньше 2, и т.п.);

- целевых установок субъекта, принимающего решения (например, ограничения на сроки достижения того или иного результата);

- учета целевых установок других субъектов, от которых зависит процесс реализации принятого управленческого и его результаты.

После выделения главного показателя и перевода остальных в разряд ограничений задача векторной оптимизации превращается в обычную однокритериальную задачу:

Здесь g(К_i) – некоторая функция критерия К_i, а ОДЗ _i – область допустимых значений для данной функции. Ее характер может быть различным – конкретное число, отрезок (интервал), луч и т.п.

При непрерывной постановке задачи выбор оптимального решения по данному методу требует использовать аппарат дифференциального исчисления (поиск условного экстремума), а при дискретной – следующий алгоритм.

На первом шаге определяется область эффективных решений по Парето. На втором шаге из данной области исключаются все варианты, не удовлетворяющие условиям ограничений. На третьем шаге из оставшихся после предыдущего шага вариантов выбирается оптимальный по значению главного показателя. Этот вариант и принимается в качестве окончательного решения.

При использовании данного метода в задачах с неопределённостью требуется исключать как неэффективные все варианты, не удовлетворяющие условиям ограничений хотя бы при одном значении фактора неопределенности.

5. Многокритериальный выбор оптимальных решений в условиях неопределённости

В условиях неопределённости, как и в детерминированных условиях, оптимальные решения, принимаемые по разными показателям, могут не совпадать. Эта проблема усугубляется ещё и тем, что разные принципы оптимальности в условиях неопределённости (оптимизма, пессимизма, гарантированного результата и т.п.) также дают разные оптимальные решения. Поэтому возникает проблема согласования оптимальных решений, принимаемых по разным принципам с использованием разных критериев. Некоторые особенности критериев оптимальности в условиях неопределённости позволяют применять для такого согласования подходы, основанные на принципах доминирования и Парето и методе выделения главного показателя с переводом остальных в разряд ограничений.

Пусть сравниваются между собой N альтернатив – S ₁, S ₂, …, S_N – в условиях действия неуправляемого фактора У, принимающего значения У₁, У₂, …, У _М. Сравнение осуществляется по двум показателям – Э и Е (для определённости будем считать, что оба показателя требуется максимизировать). Логично для каждого из этих показателей составить свою матрицу выбора (табл. 9 – 10).

Таблица 9

Дата добавления: 2015-06-04