Условия равновесия в векторном и аналитическом виде

Очевидно, что в случае равновесия системы сходящихся сил величина равнодействующей будет равна нулю. Тогда формулы, выражающие условия равновесия системы сходящихся сил, приложенных к абсолютно твердому телу, в векторном и скалярном виде будут:

(2.3.а)

(2.3.б)

Если силы заданы их модулями и углами с координатными осями, то для применения аналитического способа надо уметь вычислять проекции этих сил на соответствующие оси.

В частном случае, когда тело находится в равновесии под действием трех непараллельных сил, линии действия двух из которых пересекаются в одной точке, справедлива следующая теорема: действующие на тело силылежат в одной плоскости, а их линии действия пересекаются в одной точке. С доказательством теоремы можно ознакомиться, например, в [ 1 ].

Пример 2.1. (задача 2.8 из [ 2 ]). Фонарь веса подвешен в точке В к середине троса АВС, прикрепленного концами к крюкам А и С, находящимся на одной горизонтали. Определить натяжения и в частях троса АВ и ВС, если длина всего троса равна 20 метров и отклонение точки его подвеса от горизонтали ВД = 0.1м. Весом троса пренебречь.

1. Решим задачу геометрическим способом.

Рассмотрим равновесие точки В. После отбрасывания связей (нити) и замены их действия реакциями (силы натяжения и ), получаем силовую схему, изображенную на рис.2.2. Запишем уравнение равновесия плоской системы сходящихся сил:

(2.4)

В этом векторном треугольнике известны направления сил и ( ВД/АВ=0.01), а так же величина и направление силы . Строим силовой треугольник по стороне и двум углам (см. рис. 2.3):

Из треугольника .

Заметим, что стремление уменьшить провис ВД приводит к резкому возрастанию сил натяжения частей троса (а так же равных им по величине усилий на крюки А и С). Отмеченное обстоятельство может вызвать либо разрыв троса, либо повреждение опорных устройств.

2. Решим задачу аналитическим способом.

Для этого спроецируем (2.4) на оси декартовой координатной системы:

. (2.5)

Решив систему относительно сил натяжения, получим:

Замечание: при увеличении числа активных (задаваемых) сил, действующих на объект равновесия, второй способ оказывается менее трудоемким, так как не требует построения векторного многоугольника. При действии на объект равновесия пространственной системы сходящихся сил построение векторного многоугольника становится еще более затруднительным.

Отмеченные обстоятельства делают аналитический способ более универсальным и менее трудоемким.

Пример 2.2. (задача 2.24 из [ 2 ]). Вес однородного трамбовочного катка равен P, радиус его r. Определить наименьшее горизонтальное усилие Т, необходимое для перекатывания катка через каменную плиту высоты h в положении, указанном на рис. 2.4.

Объект равновесия задачи – каток (твердое тело). В момент начала его перекатывания через плиту образуется зазор с горизонтальной поверхностью, а сила нормального давления на нее исчезает. Силовая схема для такой ситуации изображена на рис.2.4.

Запишем уравнения равновесия в аналитической форме:

(2.6)

где .

Тогда

Пример 2.3. (задача 6.4 из [ 2 ]). Найти усилия и в стержнях АВ и АС, а так же натяжение Т в тросе АД, если углы СВА и ВСА равны , а угол ОАД равен . Вес груза Р известен, крепление стержней к стене и между собой – шарниры.

Мысленно выделим объект равновесия – шарнир (точка) А. Запишем уравнения равновесия в аналитической форме:

(2.7)

.

Решив систему уравнений, получим: ,

Примечание: знак «минус» означает, что направления усилий противоположны указанным на рис.2.5. (при освобождении от связей полагалось, что и трос АД и стержни АВ и АС растянуты; результаты расчета предположение о растянутости стержней не подтвердили).

Пример 2.4. (задача (4.6) из [ 2 ]). Однородная балка АВ веса Р опирается на две гладкие наклонные направляющие СД и ДЕ, находящиеся в вертикальной плоскости; угол наклона первой из них к горизонту равен , второй: 90- . Найти угол наклона балки к горизонту в положении равновесия и давление ее на направляющие.

Реакции в точках касания балки и гладких направляющих направлены по нормали к поверхностям последних; тогда точка пересечения направлений реакций К является вершиной прямоугольника АКВД. В случае равновесия балки по теореме о трех силах вертикальная линия силы веса так же должна проходить через эту точку. Очевидно, что точка О приложения веса однородной балки делит ее пополам, т.е. АО=ОВ. В таком случае она является точкой пересечения диагоналей прямоугольника АКВД. Итог рассуждений отображен на рис. 2.6.

Из рисунка видно, что треугольник АОД равнобедренный. Тогда должны быть равны углы при его основании, т.е. угол ОАД равен углу ОДА. Это равенство позволяет записать уравнение для вычисления угла как

; отсюда , (2.8)

Запишем уравнения равновесия для системы сил, действующих на балку АВ:

. (2.9)

Решив систему, получим, что .

Дата добавления: 2015-06-04