Концентрация носителей заряда в собственном полупроводнике

Средняя энергия, получаемая электроном от тепловых колебаний решетки, примерно равна kT. Если уровень Ферми находится в пределах запрещенной зоны, то полупроводник является невырожденным. Для невырожденного полупроводника E_c-E_F > kТ ≈ 0.026 эВ при Т = 300 К и в выражении (В.4) можно пренебречь единицей в знаменателе и записать его в виде

f_n(E) = exp[-(E – E_F)/kT]

Концентрация электронов, находящихся в зоне проводимости, равна произведению числа имеющихся уровней на вероятность их заполнения. При обычных температурах заняты уровни вблизи дна зоны проводимости, так что в качестве энергии Е можно подставить энергию Е_с. Тогда концентрация электронов в зоне проводимости

n_о = Nc exp[-(E_c – E_F)/kT] (1.1)

где N_c – эффективное число состояний в зоне проводимости, приведенное ко дну зоны. Например для германия Ge Nc = 1,04·10¹⁹ см^-3; аналогично для дырок в валентной зоне:

p_o = Nv·exp[-(EF – Ev)/kT], (1.2)

где Nv – эффективное число состояний в валентной зоне, приведенное к потолку зоны; для Ge Nv = 6,0·1018 см^-3; N_c и N_v зависят от температуры пропорционально Т^3/2.

Из соотношений (1.1) и (1.2) следует, что концентрация носителей заряда для конкретного полупроводника определяется положением уровня Ферми. Положение уровня Ферми в условиях теплового равновесия можно определить из условия электронейтральности, согласно которому суммарный заряд всех заряженных частиц кристалла полупроводника должен быть равен нулю. В случае собственного полупроводника условие электронейтральности можно выразить уравнением

n_o = p_o. (1.3)

Подставляя (1.1) и (1.2) в уравнение (1.3), получим

. (1.4)

После логарифмирования (1.4) находим, что

. (1.5)

Из (1.5) видно, что уровень Ферми в собственном полупроводнике при Т = 0 К расположен в середине запрещенной зоны. Собственная концентрация носителей заряда с учетом (1.1), (1.2) и (1.3) равна

. (1.6)

Зависимость ni от Т удобно строить в полулогарифмических координатах. Логарифмируя (1.6) находим

.

Если по оси абсцисс отложить 1/Т, а по оси ординат lnn_i, то получится прямая, тангенс угла которой определяется величиной ΔEg/2k. На рис. 1.1 приведены зависимости от Т для Ge и арсенида галлия GaAs. Видно, что n_i сильно зависит от ΔEg и Т.

Соотношение n_o = p_{o =} n_i является математической формулировкой закона, названного законом действующих масс. Этот закон справедлив для любого невырожденного полупроводника и показывает, что при данной температуре произведение равновесных концентраций электронов и дырок есть величина постоянная и зависящая только от свойств полупроводника. В частном случае собственного полупроводника n_o = р_o, но во многих других случаях n_o ≠ р_o, и закон действующих масс позволяет вычислить концентрацию одного из носителей заряда, если известна концентрация носителей заряда противоположного знака.

Дата добавления: 2015-06-26