Меры центральной тенденции

[править | править вики-текст]

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Текущая версия страницы пока не проверялась опытными участниками и может значительно отличаться от версии, проверенной 29 июля 2013; проверки требует 1 правка.

В статистике меры центральной тенденции служат для локализации множества значений вокруг одного единственного числа. При существующем многообразии мер центральной тенденции окончательный выбор меры всегда остается за исследователем.

В самых простых случаях (и наиболее часто) в качестве меры центральной тенденции применяется среднее арифметическое, предложенное, наряду со средним геометрическим и средним гармоническим еще пифогорейцами. Поэтому эти три перечисленные меры так же называют Пифагорейскими средними (Pythagorean means)^[1].

В реальных исследованиях получаемая совокупность значений редко описываются нормальным распределением и, кроме того, она может содержать так называемые «выбросы» (или аутлайеры). Поэтому при выборе той или иной меры центральной тенденции важно учитывать устойчивость (робастность) выбранной меры центральной тенденции применяемой в каждом конкретном случае.

Меры центральной тенденции (central tendency measures)

Толкование

Меры центральной тенденции (centraltendency measures)

Назначение М. ц. т. — служить сводными количественными характеристиками, обеспечивающими наилучшееописание множества наблюдений или оценок одним единственным числом. Термины М. ц. т. и «средняявеличина» часто употребляются как равнозначные, хотя некоторые авторы сужают объем понятия «средняявеличина» до среднего арифметического. Несмотря на разнообразие М. ц. т., чаще всего встречаются мода,медиана и среднее.

Мода — это просто наиболее часто встречающееся в определенной совокупности наблюдений значениепеременной. При сгруппированных данных мода определяется как середина интервала группирования,содержащего наибольшее число значений наблюдаемой переменной.

Медиана — это значение переменной, делящее упорядоченную совокупность наблюдений пополам, так что одна половина значений в этой совокупности лежит ниже медианы, а др. их половина — выше медианы. Если совокупность образована нечетным числом значений наблюдаемой переменной, то медиана равназначению переменной, являющемуся серединой упорядоченной совокупности наблюдений. Если жесовокупность образована четным числом значений, то медиана определяется значением, лежащимпосередине между двумя значениями, находящимися в центре упорядоченной совокупности наблюдений. Медиана — более полезная мера, чем мода, и часто используется в случае скошенного (асимметричного)распределения данных. Следует, однако, отметить, что медиана нечувствительна к величине крайнихзначений упорядоченной совокупности наблюдений.

Среднее арифметическое — самая распространенная мера центральной тенденции — определяется каксумма значений наблюдаемой переменной, разделенная на их число. (В данной статье под «средним»подразумевается среднее арифметическое.) Использование среднего дает исследователю рядпреимуществ. В отличие от др. М. ц. т., среднее чувствительно к точному положению каждого значения враспределении переменной. Правда, это достоинство среднего арифметического оборачиваетсянедостатком в виде повышенной чувствительности к крайним значениям переменной, и потому его иногдаизбегают использовать в случае сильно скошенных распределений.

Среднее — особенно полезная мера в области статистических выводов, поскольку выборочное среднееявляется относительно эффективной оценкой генерального среднего. Если из генеральной совокупностизначений наблюдаемой переменной случайно извлечь даже большое количество выборок, не следуетожидать точного равенства выборочных средних между собой или генеральному среднему. Однако, можнодоказать, что выборочные средние отклоняются от генерального среднего меньше, чем выборочныемедианы отклоняются от медианы генеральной совокупности. Можно также доказать (центральная предельная теорема), что выборочное распределение среднего приближается к нормальному распределению по мере увеличения объема выборки.

Вторая группа методов – меры изменчивости – показывают, насколько разбросаны все значения относительно центра. Большой разброс – получаем ситуацию с безымянным ассистентом и анонимным ректором из предыдущей статьи, малый разброс – различие в их зарплатах было бы не таким большим, что, безусловно, было бы гораздо справедливее.

Самыми простыми мерами изменчивости считаются минимум, максимум и размах вариаций. Определение первых двух настолько очевидно, что я даже не буду на этом останавливаться – вы просто ищете самое большое и самое маленькое из всех значений. Да и размах вариаций – это всего лишь разность между этими двумя величинами.

А вот на трех других – среднем отклонении, дисперсии и стандартном отклонении стоит остановиться поподробнее. Они как раз и показывают насколько близко (или далеко) располагается от центра большинство значений.

Итак, попробуем разобраться, что это за звери такие. Если мы вычтем из индивидуального роста человека средний рост всего человечества, мы получим индивидуальное отклонение. То есть насколько отклоняется его собственный рост от среднего. Далее, если мы найдем среднее арифметическое от всех таких отклонений, мы получим среднее отклонение. Разумеется перед тем, как просуммировать, каждое отклонение помещается модуль

Теперь проделаем еще одну математическую операцию – возведем индивидуальное отклонение в квадрат и найдем среднее уже от квадратов. Получившийся результат называется дисперсией, и с её помощью вычисляется очень много статистических показателей. Самый известный из них - стандартное отклонение – есть просто напросто корень из дисперсии.

Стандартное отклонение как раз и является одним из наиболее часто используемых и показательных мер изменчивости. Без него среднее арифметическое по большому счету не имеет особого смысла (см. предыдущую статью). Большая величина стандартного отклонения говорит о сильной разбросанности значений относительно центра, малая же - напротив, о небольшой разбросанности. На рисунке ниже вы сможете увидеть эти различия - у распределения слева стандартное отклонение маленькое, а у того что справа - большое.

Пока же – небольшая памятная таблица для закрепления материала.

Меры	Функции	Показатели
Центральной тенденции	Определяют центр распределения	Среднее арифметическое Мода Медиана
Изменчивости	Определяют разбросанность данных относительно центра	Минимум и максимум Размах вариаций Среднее отклонение Дисперсия Стандартное отклонение

12.2. Корреляционный подход и использование статистических мер связи

12.2.1. Ковариация и корреляция как меры связи

Проверка гипотез о связях, если речь идет о более чем одной переменной, предполагает одновременные изменения и измерения их безотносительно к указаниям направленности влияний (какая из переменных рассматривается как влияющая на другую). Статистической мерой связи служит при этом выборочный коэффициент ковариации Sxy. Он подсчитывается как среднее произведений отклонений каждой переменной:

Именно ковариация характеризует связь двух переменных Х и Y.

Ковариация дает количественную характеристику диаграммы рассеивания, на которой переменные обозначены осями, а отдельные наблюдения, т.е. полученные эмпирические данные, – точками в прямоугольной системе координат. Множество точек образует «облако», по форме которого судят о связи переменных Х и Y.

Если связь положительна, то более высоким значениям одной переменной (X) чаще соответствуют и более высокие значения другой переменной (Y). Этот случай представлен на рис. 12.1. Чем больше по величине коэффициент корреляции, тем более вытянутым выглядит на диаграмме рассеивания это «облако» данных.

Заметим, что ковариация переменной с самой собой – это дисперсия.

Рис.12.1. Диаграмма рассеивания.

При обсуждении трех основных условий причинного вывода применительно к экспериментальным данным речь идет также о ковариации независимой и зависимой переменных. Однако здесь подразумевается неслучайность характера связи между изменениями этих переменных, а не необходимость подсчета коэффициентов ковариации или корреляции. Для количественной оценки экспериментально полученных эффектов обычно используются меры различий, а не меры связей. В корреляционном по способу сбора данных исследовании предпочтение отдается коэффициенту корреляции как более удобному способу количественной оценки величины связи.

Корреляция есть отношение полученной ковариации к максимально возможной:

Начало формы

10. понятие объективности измерения в психодиагностике.

пределение надежности измерительного инструмента. От того как составлена методика, насколько правильно подобраны задания, насколько она однородна зависит точность, объективность измерения.

Для проверки надежности измерительного инструмента, говорящего о его однородности (гомогенности) используют метод расщепления. Задания делят на четные и нечетные (необходимо выполнение всех заданий), а затем результаты коррелируются между собой. Если методика однородна, то большой разницы в успешности по этим половинам не будет, коэффициент будет высоким. Можно сравнивать по частям, но лучше по четным и нечетным, т.к. этот способ не зависит от тренировки, утомления и т.д.

Методика надежна, если коэффициент не ниже 0,75 – 0,85, лучше 0,90 и выше.

Дата добавления: 2015-06-04