Замена переменных в выражении, содержащем обыкновенные производные

Замена переменных

При рассмотрении выражений, содержащих функции и их производные, часто оказывается целесообразным перейти к другим независимым переменным. Иногда необходимо перейти не только к новым переменным, но и к новым функциям, которые связаны с исходными переменными и функциями определёнными соотношениями. При замене переменной используются правила дифференцирования сложных и неявно заданных функций.

Пусть в дифференциальном выражении требуется перейти к новым переменным: независимой переменной и функции, связанным с прежними переменными и уравнениями

. (7)

Дифференцируя уравнение (7), будем иметь:

.

Аналогично выражаются высшие производные. В результате мы получаем

.

Пример 3. Преобразовать уравнение перейдя к полярным координатам .

Решение. Рассматривая как функцию , получим

,

отсюда

,

или после упрощений .

Пример 4. Преобразовать уравнение , полагая

Дата добавления: 2015-06-04