Базис мн вект. Коорд вект. Теор о корд вект

Признаки коллинеарности векторов

1. 2 вектора колинеарны тогда и только тогда когда их векторное производ = 0 вектору. 2. Вектора А и В наз. Калинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Калинеарными могут быть одинакова или противоположно направлены.нулевой вектор считается любому вектору.

12. Признаки компланарности векторов. 3 вектора комплонарны тогда и только тогда когда их смешенное производ = 0. Если среди 3 векторов хотя бы один нулевой или два любые колинеарны, то такие векторы комплонарны. 3 вектора в прост наз. комплонарными, если они лежат в одной плоскости или в параллельных плоскостях.

13.Теор о лин зав 4 вектар. 4 вектора всегда лин завис. Док. Если среди 4 вект. А,в,с,д есть 0; есть пара колин вект, либо 3 компл вект, то 4 вект явл лин завис. След исключаем все указан случаи и привед их векторы к общ началу. С=ОМ+МС ОМ=ОА+ОВ С=ОА+ОВ+МС ОАǁǁа ОА=£а ОВǁǁв ОВ=ßв МСǁǁд МС=ɤд С=£а+ßв+ɤд. ч.и.т.д.

Определение. Если - базис в пространстве и , то числа a, b и g - называются компонентами или координатами вектора в этом базисе.В связи с этим можно записать следующие свойства:

1)равные векторы имеют одинаковые координаты,

2)при умножении вектора на число его компоненты тоже умножаются на это число,

= .

3)при сложении векторов складываются их соответствующие компоненты.

; ;

+ = .

Теорема. Если А(x1,y1,z1),В(x2,y2,z2) то AB(x2-x1, y2-y1,z2-z1) другими сл чтобы найти корд вект нужно от корд конца отнять соотв корд начала. Док.

Из усл след что ОА=(x1,y1,z1), а ОВ=(x2,y2,z2) очевидно что ОВ=ОА+АВ след АВ=ОВ-ОА след АВ= (x2,y2,z2)-(x1,y1,z1)= (x2-x1, y2-y1,z2-z1).

15.Базис прямой,плоскости, простр. Опр. 1) Базисом в пространстве называются любые 3 некомпланарных вектора, взятые в определенном порядке.2) Базисом на плоскости называются любые 2 неколлинеарные векторы, взятые в определенном порядке.3) Базисом на прямой называется любой ненулевой вектор. См 14 вопрос.

16.Сист корд. Коорд точки. Система координат.

Понятие системы координат представляет собой совокупность точки начала отсчета (начала координат) и некоторого базиса Декартова система координат.

Зафиксируем в пространстве точку О и рассмотрим произвольную точку М.Вектор назовем радиус- вектором точки М. Если в пространстве задать некоторый базис, то точке М можно сопоставить некоторую тройку чисел – компоненты ее радиус- вектора. Опр. Декартовой системой координат в пространстве называется совокупность точки и базиса. Точка называется началом координат. Прямые, проходящие через начало координат называются осями координат.

1-я ось – ось абсцисс 2-я ось – ось ординат 3-я ось – ось апликат

Чтобы найти компоненты вектора нужно из координат его конца вычесть координаты начала.

Если заданы точки А(x₁, y₁, z₁), B(x₂, y₂, z₂), то = (x₂ – x₁, y₂ – y₁, z₂ – z₁).

Опр. Базис называется ортонормированным, если его векторы попарно ортогональны и равны единице. Опр. Декартова система координат, базис которой ортонормирован называется декартовой прямоугольной системой координат. Длина вектора в координатах определяется как расстояние между точками начала и конца вектора. Если заданы две точки в пространстве А(х₁, y₁, z₁), B(x₂, y₂, z₂), то .

Если точка М(х, у, z) делит отрезок АВ/l, то координаты этой точки определяются как:

В частном случае координаты середины отрезка находятся как:x = (x₁ + x₂)/2; y = (y₁ + y₂)/2;

z = (z₁ + z₂)/2.

17.Выч корд вект АВ через корд т А и В. Длина вектора в координатах определяется как расстояние между точками начала и конца вектора. Если заданы две точки в пространстве А(х₁, y₁, z₁), B(x₂, y₂, z₂), то .

Если точка М(х, у, z) делит отрезок АВ/l, то координаты этой точки определяются как:

В частном случае координаты середины отрезка находятся как:x = (x₁ + x₂)/2; y = (y₁ + y₂)/2;

z = (z₁ + z₂)/2.

18.Задача о делении отрезка в данном отношении. Требуется разделить отрезок АВ, соединяющий точки А (х; у) и В(х₂;у₂) в заданном отношении Л > 0, т.е. найти координаты точки М(х;у) отрезка АВ такой, что AM/MB = Л. Решение: Введем в рассмотрение векторы АМ и МВ. Точка М делит отрезок АВ в отношении Л, если АМ = Л * МВ. Но АМ = {х – х₁; у – у₁), т. е. АМ = (х – х₂)i+ (у – y₁) j и МВ = (х₂ – x; у₂ - у), т. е. МВ = (х₂ — х)i + (у₂ - у) j - Уравнение принимеaт вид (х – х₁)i + {у-у₁)j = Л(x₂ - х)i + Л (у₂ - у)j. Учитывая, что равные векторы имеют равные координа­ты, получаем 1) x-x₁=Лx₂-Лx, 2)y-y₁=Лy₂-Лy. Формулы называются формулами деления от­резка в данном отношении. В частности, при Л = 1, т. е. если АМ = МВ, то они примут вид x= , y= . В этом случае точка М (х; у) является серединой отрезка АВ.

19.Проекция вектора на ось. Формула выч проек. Прямая с задан полож напр наз осью. L

Опр. Проек в А на ось l наз т пересеч оси l с перпенд ей плоск переход через т А. Опр. Проек АВ на ось l наз число равное ǁА’ǁǁB’ǁ взята полож, если вект А’B’ совпод с направл оси, и со знаком -, если напр А’B’ против с напр оси, где А’B’ – проекц т А и В соотв т.е проекц вект АВ на ось = l. Теорема. Проекц а на ось вычисл по форм прla=ǁaǁcosα, α-угол между а и осью. Док. АВ=а

прla=ǁА’B’ǁ=ǁАСǁ. Треуг АВС прямоуг. Угол С=90 АС-катет АВ-гипот. ǁАСǁ=ǁ АВǁ =ǁаǁ след прla=ǁАСǁ= ǁаǁ .

20.Теор о связи прямоуг корд вектора и проекц на корд оси. Следств. Теорема. В прямоуг декарт сист корд корд произв вект d=(x,y,z) = проекц этого вект на соотв корд оси т.е x=прOXd, y=прOYd, z=прOZd. Док. Очевидно OD=d=OM+MD OM=OA+OB MD=OC d=OA+OB+OC OAǁǁl зн OA=ƛi ǁOAǁ=ǁƛǁǁiǁ=ǁƛǁ=ƛ ƛ=ǁOAǁ OA=ƛi=ǁOAǁi ǁOAǁ=прOXd OA↑↓I то ƛ<0 ǁƛǁ=-ƛ ƛ=-ǁOAǁ OA=прOXdi анолог OB,OC след d=OA+OB+OC=прOXdi+прOYdj+прOZdr т.к корд вект наз коэф разлож вект по базису то d=(прOxd,прOYd,прOzd), т.к корд вект опред однозн в данном базисе то….

След1. ǁdǁ=(x,y,z)=

След2. .

След3. Если αßɤ-углы обр d=(x,y,z) с соотв осями корд то cosα= cosß= cosɤ=

Cosα,cosß,cosɤ - наз направл cosd.

21.Линейн св-ва проекц. Теорема. Для любого А и В проекц их суммы = сумме проекц слагаем и проекц произв вект на число = числу умнож на проекц вект. Прl(a+b)=прla+прlb прlƛ(a)=ƛпрla Док. Возьмём прямоуг сист корд в котор OX совпод с Ol. Пусть a=(x1,y1,z1) b=(x2,y2,z2) корд вект = проекц его на корд оси т.е x1=прOXa=прla x2=прOX=прlb при слож вект их соотв корд склад a+b=(x1+x2,y1+y2,z1+z2) x1+x2=прla+прlb.

22.Коорд суммы вект и вектора ƛа. Или см 21 вопрос. Координаты вектора суммы двух векторов удовлетворяют соотношениям:

и Вектор суммы двух векторов:

Координаты вектора суммы нескольких векторов удовлетворяют соотношениям:

Сумма нескольких векторов:

23.Формула для вычисл модуля вектора. Длина направленного отрезка, изо­бражающего вектор, называется длиной, или модулем, вектора. Длина вектора обозначается

24.Направляющ косинусы вект, их св-ва. Сумма кв напр cosd=1т.е cosквα+cosквß+cosквɤ=1. Если αßɤ-углы обр d=(x,y,z) с соотв осями корд то cosα= cosß= cosɤ=

Cosα,cosß,cosɤ - наз направл cosd.см 21 вопр.

25. Скалярн произв вект. Его св-ва. Вычисл в корд. Опр. Скалярным произведением векторов и называется число, равное произведению длин этих сторон на косинус угла между ними.

× = ï ïï ïcosj

Свойства скалярного произведения:

1) × = ï ï²;

2) × = 0, если ^ или = 0 или = 0.

3) × = × ;

4) ×( + ) = × + × ;

5) (m )× = ×(m ) = m( × );

Если рассматривать векторы в декартовой прямоугольной системе координат, то × = x_a x_b + y_a y_b + z_a z_b; Используя полученные равенства, получаем формулу для вычисления угла между векторами:

;

Дата добавления: 2015-06-04