Амплитуды и векторы

Б. Молекула аммиака

Гамильтонова матрица

Как состояния меняются во времени

Каковы базисные состояния мира?

Разложение век­торов состояний

Амплитуды и векторы

ГАМИЛЬТОНОВА МАТРИЦА

Г лава 6

Мы предполагаем, что фазы обязаны иметь одно и то же значение в соответствующих точках в двух системах координат. Впрочем, это весьма тонкое место, поскольку в квантовой механике фаза в значитель­ной степени произвольна. Чтобы до конца оправдать это предположение, нужны более детальные рассуждения, учитывающие интерференцию двух или нескольких амплитуд.

Повторить: гл. 49) (вып. 4) «Собст­венные колеба­ния»

Прежде чем приступить к основной теме этой главы, мы хотели бы изложить несколько математических идей, которые часто встреча­ются в книгах по квантовой механике. Знание их облегчит вам чтение других книг или статей по этому предмету. Первая идея — это тесное математическое подобие между уравнениями квантовой механики и формулами для скаляр­ного произведения двух векторов. Вы помните, что если cи j — два состояния, то амплитуда начать в j и кончить в c может быть записана в виде суммы (по полной совокупности базис­ных состояний) амплитуд перехода из j в одно из базисных состояний и затем из этого базис­ного состояния уже в c:

Мы объясняли это при помощи прибора Штер­на — Герлаха, но сейчас напоминаем вам, что в этих приборах нет нужды. Уравнение (6.1) — это математический закон, который верен всег­да, все равно, есть ли у нас фильтровальное оборудование или нет; вообще совсем не обя­зательно воображать наличие какого-то при­бора. Можно рассматривать это просто как формулу для амплитуды <c|j>.

Сопоставим (6.1) с формулой для скалярного произведения двух векторов В и А. Если В и А — обычные трехмерные векторы, то ска­лярное произведение можно написать так:

считая, что символ е_i обозначает любой из трех единичных векторов в направлениях х.у и z. Тогда B•e₁ — это то, что обычно называют В_х, а В•е₂ — то, что обычно называют B_y, и т,д. Значит, (6.2) эквивалентно

В_хА_х+В_уА_у+В_гА_г,

а это и есть скалярное произведение В•А.

Сравнение (6.1) с (6.2) обнаруживает следующую аналогию. Состояния c и j соответствуют двум векторам А и В. Базис­ные состояния i отвечают специальным векторам е _i, к которым мы относим все прочие векторы. Любой вектор может быть представлен как линейная комбинация трех «базисных векто­ров» е _i. Далее, если вам известны коэффициенты при каждом «базисном векторе» в этой комбинации, т. е. три его компонен­ты, то вы знаете о векторе все. Точно так же любое квантовомеханическое состояние может быть полностью описано ампли­тудами < i |j> перехода в базисные состояния, и если эти коэф­фициенты вам известны, то вы знаете все, что можно знать о состоянии. Из-за этой тесной аналогии то, что мы назвали «состоянием», часто именуют «вектором состояния».

Раз базисные векторы е_i перпендикулярны друг другу, то существует соотношение

Это соответствует соотношению (3.25) между базисными со­стояниями i

Теперь вы понимаете, почему говорят, что базисные состоя­ния i все «ортогональны друг другу».

Между (6.1) и скалярным произведением есть одно мини­мальное различие. У нас

а в векторной алгебре

А•В = В•А.

В квантовой механике с ее комплексными числами мы обязаны выдерживать порядок множителей, а в скалярном произве­дении порядок неважен.

Теперь рассмотрим такое векторное уравнение:

оно немножко необычно, но тем не менее верно. И означает оно то же самое, что и

Заметьте, однако, что в (6.6) входит величина, отличная от скалярного произведения. Скалярное произведение — это про­сто число, а (6.6) — векторное уравнение. Одним из великих приемов векторного анализа было абстрагировать от уравне­ний идею самого вектора. Равным образом можно попытаться абстрагировать от уравнения (6.1) то, что в квантовой механике является аналогом «вектора». И это действительно можно сделать. Уберем <c| по обе стороны (6.1) и напишем такое урав­нение (не пугайтесь — это просто обозначение, и через пару минут вы узнаете, что означают эти символы):

Скобку <c|j> представляют себе состоящей из двух полови­нок. Вторую половинку |j> называют кет, а первую <c| на­зывают брэ (поставленные рядом они образуют брэ-кетºbгаcket, скоб-каºскобка — обозначение, предложенное Дираком); полусимволы <c| и |j> также называют векторами состоя­ний. Это не числа отнюдь, а нам вообще-то нужно, чтобы результаты наших расчетов выражались числами; стало быть, такие «незаконченные» величины представляют собой проме­жуточные шаги в расчетах.

До сих пор мы все свои результаты выражали с помощью чисел. Как же мы умудрялись избегать векторов? Забавно, что даже в обычной векторной алгебре можно сделать так, чтобы во все уравнения входили только числа. Например, вместо векторного уравнения типа

F = т а всегда можно написать

C•F = C• (m a).

Получается уравнение, связывающее скалярные произведения и справедливое для любого вектора С. Но если оно верно для любого С, то едва ли имеет смысл вообще писать это С!

Теперь вернемся к (6.1). Это уравнение справедливо при любых c. Значит, для сокращения письма мы должны просто убрать c и написать вместо (6.1) уравнение (6.8). Это уравне­ние снабдит нас той же самой информацией, лишь бы мы пони­мали, что его всегда надлежит «завершить», «умножив слева на...», т. е. просто дописав некоторое <c| по обе стороны знака равенства. Следовательно, (6.8) означает в точности то же, что и (6.1),— ни более ни менее. Если вы предпочитаете числа, вы подставляете то <c|, которое вам нужно.

Может быть, вы в уравнении (6.8) уже нацелились и на j? Раз (6.8) справедливо при любом j, зачем же нам его держать? И действительно, Дирак предлагает абстрагироваться и от j, так что остается только

Вот он каков — великий закон квантовой механики! Этот закон утверждает, что если вы вставите любые два состояния c и j с обеих сторон, слева и справа, то опять вернетесь к (6.1). Уравнение (6.9) вообще-то не очень полезно, но зато является неплохим напоминанием о том, что уравнение выполняется для любых двух состояний.

Дата добавления: 2015-06-04