Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Как состояния меняются во времени




Мы уже говорили о том, как отображать ход событий, где мы что-то пропускаем через прибор. Но самый привлекатель­ный, самый удобный для рассмотрения «опыт» состоит в том, что вы останавливаетесь и ждете несколько минут, т. е. вы приготовляете состояние j и, прежде чем проанализировать его, оставляете его в покое. Быть может, вы оставите его в покое в каком-то электрическом или магнитном поле — все зависит от физических обстоятельств. Во всяком случае, ка­кими бы ни были условия, вы от момента t 1до момента t 2 ос­тавляете объект на свободе. Допустим, что он выпущен из на­шего первого прибора в состоянии j в момент t 1. А затем он проходит через «прибор», в котором он находится до момента t2. Во время такой «задержки» могут продолжаться различные события, прилагаться внешние силы,— словом, что-то в это время случается. После такой задержки амплитуда того, что этот объект обнаружится в состоянии c, уже не та же самая, какой она была бы, если бы задержки не было. Так как «ожи­дание» — это просто частный случай «прибора», то можно опи­сать то, что происходит, задав амплитуду в том же виде, как в уравнении (6.17). Поскольку операция «ожидания» представляет особую важность, мы вместо А обозначим ее U, а чтобы отмечать начальный и конечный моменты t 1 и t 2, будем писать U (t 2, t 1 ). Интересующая нас амплитуда — это

Как и всякая подобная амплитуда, она может быть представ­лена в той или иной базисной системе в виде

Тогда U описывается заданием полной совокупности амплитуд — матрицы

Кстати, следует отметить, что матрица < i | U(t 2, t 1| j > могла бы дать гораздо больше всяких деталей, чем нам обычно нужно. Теоретик высокого класса, работающий в физике высоких энергий, рассматривает примерно такие проблемы (потому что именно так обычно ставятся эксперименты): он начинает с двух частиц, скажем с протона и протона, налетающих друг на друга из бесконечности. (В лаборатории обычно одна частица покоится, другая же вылетает из ускорителя, кото­рый по атомным масштабам пребывает в бесконечности.) Они сталкиваются, и в итоге появляются, скажем, два К -мезона, шесть p-мезонов и два нейтрона с определенными импульсами в определенных направлениях. Какова амплитуда того, что это случится? Математика здесь выглядит так. Состояние j отмечает спины и импульсы сближающихся частиц. а c — это сведения о том, что получается в конце. К примеру, с какой амп­литудой вы получите шесть мезонов, идущих в таких-то и та­ких-то направлениях, а два нейтрона, вылетающих вот в этих направлениях и со спинами, торчащими так-то и так-то. Ины­ми словами, c отмечается заданием всех импульсов, спинов и т. п. конечных продуктов. И вот работа теоретика состоит в том, чтобы подсчитать амплитуду (6.27). Однако на самом деле его интересует только частный случай, когда t1=-¥, а t2 =+¥. (У нас не бывает экспериментальных данных о де­тальном ходе процесса, известно только, что вошло и что вышло. Предельный случай U (t2, t 1)при t1®-¥ и t2®+¥ обозначается буквой S; теоретик нуждается в величине

<c| S |j>.

Или, если пользоваться формой (6.28), ему нужно вычислить матрицу

<i | S | j>,

называемую S-матрицей. Стало быть, если вы увидите физика-теоретика, который меряет шагами комнату и говорит: «Мне нужно только вычислить S -матрицу», — то вы теперь уже будете понимать, над чем он ломает голову.

Как анализировать S-матрицу, т. е. как указать законы для нее,— вопрос интересный. В релятивистской квантовой механике при высоких энергиях это делается одним способом, в нерелятивистской же квантовой механике — другим, более удобным. (Он годится и в релятивистском случае, но перестает быть таким удобным.) Состоит он в том, чтобы вывести U -мат­рицу для небольших интервалов времени, т. е. для близких t2 и t1. Если мы сможем найти последовательность таких U для последовательных интервалов времени, то сможем проследить за тем, как все меняется в зависимости от времени. Сразу же ясно, что для теории относительности этот способ не очень хорош, потому что не так уж просто указать, как «одновремен­но» все всюду выглядит. Но не стоит нам думать об этом; нашей заботой будет только нерелятивистская механика.

Рассмотрим матрицу U для задержки от t 1до t 3, где t 3 больше t 2. Иными словами, возьмем три последовательных момента: t 1 меньше t 2, t 2 меньше t 3. Тогда мы утверждаем, что матрица, которая тянется от t 1до t 3, получается перемноже­нием подряд всего того, что происходит при задержке от t 1 до t 2, и затем от t 2до t 3. Это в точности то же самое, что было с двумя последовательными приборами В и А. Тогда, следуя обозначениям, принятым в гл. 3, § 6, мы можем написать

Иначе говоря, можно проанализировать любой интервал вре­мени, если мы умеем анализировать последовательность про­межуточных коротких интервалов. Мы просто перемножаем все куски; это и есть способ нерелятивистского анализа кван­товой механики.

Итак, задача состоит в том, чтобы узнать матрицу U (t 2, t 1) для бесконечно малого интервала времени — для t 2= t 1+D t. Спросим себя: если сейчас у нас есть состояние j, то как оно будет выглядеть через бесконечно малое время D t? Посмотрим, как это можно расписать. Обозначим состояние в момент t через |y(t)> (мы указываем зависимость y от времени, чтобы было совершенно ясно, что речь идет об условиях в момент t). Теперь зададим вопрос: каково будет положение вещей через короткое время D t? Ответ таков:

Здесь имеется в виду то же, что и в (6.25), а именно, что амплитуда обнаружить c в момент t+ D t есть

Поскольку мы еще не очень хорошо разбираемся в этих абстрактных вещах, то давайте спроецируем наши амплитуды в определенное представление. Умножая обе части (6.31) на < i |, получаем

Можно также разложить и |y(t)> на базисные состояния и написать

Понять это можно так. Если через Ci(t)= < i| y|(t)> обозна­чить амплитуду пребывания в базисном состоянии i в момент t, то можно считать эту амплитуду (помните, это просто число!) меняющейся во времени. Каждое Сi становится функцией времени t. Кроме того, у нас есть информация о том, как амп­литуды Сi меняются во времени. Каждая амплитуда в момент (t+ D t) пропорциональна всем прочим амплитудам в момент t, умноженным на ряд коэффициентов. Обозначим U -матрицу через Uij, считая, что

Uij=<i|U|j >.

Тогда (6.34) можно записать так:

Вот как будет выглядеть динамика квантовой механики.

Нам пока мало известно об Uij. Мы знаем только, что при D t, стремящемся к нулю, ничего не должно произойти, просто должно получиться начальное состояние. Значит, Uij ®1 и Uij ®0 при i¹j. Иными словами, Uij ® dij при D t ®0. Кроме того, мы вполне вправе предположить, что при малых At каж­дый из Uij обязан отличаться от d ij на величину, пропорцио­нальную D t; так что можно писать

Однако обычно по историческим и по иным причинам из коэф­фициентов Кij выносят множитель

(- i/h); предпочитают писать

Это, разумеется, то же самое, что и (6.36). Если угодно, это просто определение коэффициентов Hij (t).Члены Hij — это как раз производные по t 2от коэффициентов Uij (t 2, t 1), вычисляемые при t 2 =t 1 =t,

Подставляя в (6.35) этот вид U, получаем

Суммируя члены с d ij, получаем просто Ci (t), что можно пере­нести в другую сторону уравнения. После деления на D t мы распознаем в этом производную

или

Вы помните, что Сi (t) — это амплитуда < i| y> обнаружить состояние y в одном из базисных состояний i (в момент t). Значит, уравнение (6.39) сообщает нам, как каждый из коэф­фициентов < i| y> меняется со временем. Но это все равно, что сказать, что (6.39) сообщает нам, как со временем меня­ется состояние y, раз мы описываем y через амплитуды < i |y>. Изменение y со временем описывается через матрицу Нij, которая, конечно, должна включать все то, что мы делали с системой, чтобы вызвать ее изменения. Если мы знаем матрицу Hij , которая содержит в себе всю физику явления и может, вообще говоря, зависеть от времени, то у нас есть полное опи­сание поведения системы во времени. Таким образом, (6.39)— это квантовомеханический закон для динамики мира.

(Нужно сказать, что мы всегда будем выбирать совокуп­ность базисных состояний, которые фиксированы и со временем не меняются. Иногда используют такие базисные состояния, которые сами меняются. Однако это все равно, что пользова­ться в механике вращающейся системой координат, а мы не хотим входить в подобные тонкости.)




Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2015-06-04; Просмотров: 373; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.022 сек.