Переходы в поле, зависящем от времени

В аммиачном мазере пучок молекул в состоянии |7> и с энергией Е_I пропускается через резонансную полость, как по­казано на фиг. 7.4.

Фиг. 7.4. Схематическое изображение аммиачного мазера.

Другой пучок отводится прочь. Внутри полости существует меняющееся во времени электрическое поле, так что нашей очередной задачей явится изучение поведе­ния молекулы в электрическом поле, которое меняется во вре­мени. Это совершенно новый род задач — задача с гамильто­нианом, меняющимся во времени. Раз H_tj зависит от x, то и h_ij меняется во времени, и нам надлежит определить поведе­ние системы в этих обстоятельствах.

Для начала выпишем уравнения, которые нужно решить:

Для определенности положим, что электрическое поле меня­ется синусоидально; тогда можно написать

На самом деле частота w берется всегда очень близкой к резо­нансной частоте молекулярного перехода w₀ =2A/h, но пока мы для общности будем считать w произвольной. Лучший спо­соб решить наши уравнения — это, как и прежде, составить из C ₁и С ₂ линейные комбинации. Сложим поэтому оба урав­нения, разделим на у 2 и вспомним определения С_I и С_II из (7.13), Получим

Вы видите, что это похоже на (7.9), но появился добавочный член от электрического поля. Равным образом, вычитая урав­нения (7.36), получаем

Вопрос теперь в том, как решить эти уравнения. Это труд­нее, чем прежде, потому что x зависит от t; и действительно, при общем x (t)решение не представимо в элементарных функ­циях. Однако, пока электрическое поле мало, можно добиться хорошего приближения. Сперва напишем

Если бы электрического поля не было, то, беря в качестве g _I и g _II две комплексные постоянные, мы бы получили пра­вильное решение. Ведь поскольку вероятность быть в состоя­нии |/ > есть квадрат модуля C_I, а вероятность быть в состоя­нии | II > есть квадрат модуля С_II, то вероятность быть в со­стоянии | I >или в состоянии | II > равна просто |g _I |² или |g _II |². Например, если бы система начинала развиваться из состояния | II > так, что g _I было бы нулем, a |g _II |²— единицей, то эти условия сохранились бы навсегда. Молекула из состояния | II > никогда бы не перешла в состояние | I >.

Польза записи решений в форме (7.40) состоит в том, что оно сохраняет свой вид и тогда, когда есть электрическое поле, если только mx меньше А, только g _I и g _II при этом станут мед­ленно меняющимися функциями времени. «Медленно меняю­щиеся» означает медленно в сравнении с экспоненциальными функциями. В этом весь фокус. Для получения приближен­ного решения используется тот факт, что g _I и g _II меняются медленно.

Подставим теперь С_I из (7.40) в дифференциальное уравне­ние (7,39), но вспомним, что g _I тоже зависит от t. Имеем

Дифференциальное уравнение обращается в

Равным образом уравнение для dC_II/dt обращается в

Обратите теперь внимание, что в обеих частях каждого урав­нения имеются одинаковые члены. Сократим их и умножим первое уравнение на

а второе на

. Вспоминая, что (E_I- e_ii)=2А=hw ₀, мы в конце концов получаем

Получилась довольно простая пара уравнений — и пока еще точная. Производная от одной переменной есть функция от времени , умноженная на вторую переменную; про­изводная от второй — такая же функция от времени, умножен­ная на первую. Хотя эти простые уравнения в общем не реша­ются, но в некоторых частных случаях мы решим их.

Нас, по крайней мере сейчас, интересует только случай ко­леблющегося электрического поля. Взяв x (t) в форме (7.37), мы увидим, что уравнения для g _I и g _II обратятся в

Дата добавления: 2015-06-04