Теорема Архимеда

Физические понятия как основа решения геометрических задач

Интересным в этом плане является знакомство с применением физических понятий к решению геометрических задач.

Подобный путь решения чисто математических проблем имел место на протяжении всей истории развития науки мате­матики. Ещё до нашей эры великий древнегреческий мыслитель Архимед обнаружил возможность доказывать новые математические факты "механическим" методом с использова­нием принципа рычага. В частности, этим способом им была установлена теорема о том, что: Три медианы треугольника пе­ресекаются в одной точке и делятся ею в отношении 2:1. При доказательстве используются следую­щие вопросы:

материальная точка;

центр масс двух материальных точек:

центр масс системы материальных точек;

свойства центра масс;

теорема Архимеда о медианах треугольника.

Три медианы тpeугольника имеют общую точку, и каждая из медиан делится этой точкой в отношении 2: 1, считая от вершины.

Доказательство (предложенное Архимедом).

Пусть AВC - данный треугольник. AM, CP, ВК - его ме­дианы (рис.11). Поместим в вершины треугольника равные мас­сы, например, по 1грамму. Получившаяся система трёх мате­риальных точек 1A, 1В, 1С имеет однозначно определённый центр масс в некоторой точке О (существование и единственности центра масс). В силу свойства о перегруппировке центров масс положение центра масс не изменится, если массы матери­альных точек 1B и 1С перенести в их центр масс, то есть, со­гласно правилу рычага, в точку М. Но тогда точка О окажется центром масс лишь двух материальных точек 2М и 1А. Значит. О [АМ]. Аналогично убеждаемся в том. что О [ВК] и O [CP]. Таким образом все медианы имеют общую точку О. Кроме того, по правилу рычага имеем 2 ОМ=1 ОА, или OA:ОМ = 2:1. Тео­рема доказана.

Разумеется, для того, чтобы получать математически стро­гие решения геометрических задач, все сформулированные по­ложения, апеллирующие к понятиям механики, должны быть математически обоснованы.

Пример 1. Сила = {1; 3; 2} приложена в точке В (3; 4; 5). Найти момент силы относительно точки А (1; 2; 3).

Пример 2. Момент сил, действующих на диполь. Момент сил, дейст­вующих на диполь (рис. 1.16, б) в однородном внешнем электриче­ском поле, определяется в физике, электротехнике с помощью вектор­ного произведения следующим образом:

= , | | = | || |sin ,

где = q — вектор электрического момента диполя, вектор = направлен от отрицательного к положительному заряду диполя, — вектор напряженности электрического поля. Этот момент можно записать и иначе, в соответствии с его механическим смыслом, как момент пары сил и взаимодействия точечных зарядов q и q с внешним электрическим полем = , где к = 1,2.

Вектор направлен к точке приложения силы = q , где q — заряд со своим знаком.

Дата добавления: 2015-06-04