Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Математические софизмы

Читайте также:
  1. И МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ УПРАВЛЕНИЯ
  2. Лекция 12. Математические методы анализа результатов опросов
  3. Математические методы
  4. Математические методы, применяемые при исследовании процессов эксплуатации машин
  5. Математические модели открытого текста.
  6. Математические пробелы
  7. Математические элементы общегеографических карт
  8. Основные математические формулы.
  9. Основные математические формулы.
  10. Сформулируйте законы Кирхгофа и напишите их математические выражения.



Логические софизмы

Напомним, что софизмом называется умышленно ложное умозаключение, которое имеет видимость правильного.

Логические софизмы- софизмы, ошибки которых заключаются в неправильных рассуждениях.

Например:

«Полупустое тоже, что и полуполное»

Доказательство:

Полупустое есть то же, что и полуполное. Если равны половины, значит, равны и целые. Следовательно, пустое есть то же, что и полное

Ошибка: полупустое не является половиной чего либо пустого, а является чем либо наполовину наполненным.

Рассмотрим такой софизм с названием «ВОР». Он формулиру­ется в рассуждении, которое призва­но убедить нас, что вор делает бла­гое дело. На то ведь он и софизм, чтобы с помощью своей софисти­ческой логики доказывать то, что является недоказуемым.

«Вор приобретает лишь хоро­шее.

Приобретать, а равно и делать хорошее — это благо.

Значит, вор делает благо».

Изъян софизма заметен с перво­го взгляда: приобретать хорошее и делать хорошее — это не только не равнозначные понятия, но даже и не синонимы.

Вот еще один софизм «УЧЕНИ­КИ», в котором из верных посылок получается ложное заключение:

«Все внимательные ученики хоро­шо усваивают уроки.

Некоторые ученики внимательны.

Все ученики хорошо усваивают уроки».

Математический софизм – удивительное утверждение,

в доказательстве которого кроются незаметные,

а подчас и довольно тонкие ошибки.

Мартин Гарднер

Кроме логических софизмов широко известны также и матема­тические. Математические софизмы способствовали и способствуют повышению строгости в математических рассуждениях, содействовали и содействуют более глубокому уяснению понятий и методов математики. На наш взгляд их роль в развитии математики сходна с той ролью, какую продолжают играть до сегодняшнего дня непреднамеренные ошибки в математических доказательствах, допускаемые даже выдающимися математиками.

Рассмотрев различный материал по теме исследования, мы узнали, что софистика основывалась на понятиях логики, её законах, которые основывались на ложных предположениях. А вот допустим, софизм основан на преднамеренном ложном умозаключении, но если смотреть его поверхностно, то оно кажется истинным.
В ходе работы мы узнали, что Джордж Буль тоже основывался на понятии логики в своей алгебре. Он оперировал понятиями ложно и истинно.
А ведь современная вычислительная техника точно так же оперирует понятиями ложно и истинно. Кибернетика как наука, этим и занимается.
Получается, что учения софистов мы используем в современной жизни, особенно цифровой технике, ЭВМ.

Выделяют три вида математических софизмов:

Ø Арифметические



Ø Алгебраические

Ø Геометрические

Обычно в математических софизмах скрыто выполняются зап­рещенные действия или не учитыва­ются условия применимости пра­вил, формул или теорем. Весьма ин­тересно найти ошибку в рассужде­нии, которая приводит к абсурдно­му выводу, причем это не всегда лег­ко и просто сделать.

а) Арифметические софизмы

Арифметические софизмы– это числовые выражения, имеющие неточность или ошибку, не заметную с первого взгляда.

Примерами арифметических софизмов могут служить следующие:

1) «Дважды два – пять».

Доказательство:

Пусть исходное соотношение - очевидное равенство:

4:4= 5:5 (*) .

Вынесем за скобки общий множитель каждой чести (*) равенства, и мы получим:

4·(1:1)=5·(1:1) (**)

Тогда разложим число 4 на произведение 2 ·2.

Получаем (2·2)· (1:1)=5·(1:1) (***)

Наконец, зная, что 1:1=1, мы из соотношения (**) устанавливаем: 2·2=5.

Ошибка: ошибка заключается в том, что нельзя было выносить множитель за скобки в уравнение (**)

2) В то время когда наши мамы и папы были детьми, то есть в советские времена,

существовала такая денежная единица как рубль, которая равнялась 100 копейкам. Так вот один из софизмов говорит нам обратное.

«Один рубль не равен ста копейкам».

Доказательство:

Известно, что любые два неравенства можно перемножать почленно, не нарушая при этом равенства, т.е. Если a=b, c=d, то ac=bd.

Применим это положение к двум очевидным равенствам

1 р.=100 коп. (*)

10р.=10·100коп.(**)

Перемножая эти равенства почленно, получим 10 р.=100000 коп.

Наконец, разделив последнее равенство на 10 получим, что 1 р.=10 000 коп.

таким образом, один рубль не равен ста копейкам.

Ошибка: ошибка, допущенная в этом софизме, состоит в нарушении правил действия с именованными величинами: все действия, совершаемые над величинами, необходимо совершать также и над их размерностями.

3) Докажем, что 5 = 6.

Легко проверить справедли­вость равенства: 35 + 10 - 45 = 42+ 12-54.

Вынеся общий множитель за скобки, его можно записать так:

5 • (7 + 2- 9) = 6 • (7 + 2 - 9).

Как мы видим, произведения равны и вторые множители тоже рав­ны, значит, и первые множители должны быть равны, т. е. 5=6.

Ошибка: ошибка в этих рас­суждениях состоит в том, что мы сделали вывод о равенстве первых множителей у равных произведе­ний при условии равенства вторых множителей, что не всегда верно. Такое утверждение справедливо лишь тогда, когда эти равные вто­рые множители отличны от нуля, и мы можем обе части равенства разделить на это число. В случае же нуля всегда а·0 = b·0 = 0 при любых а и b, так что вовсе не обяза­тельно, чтобы а=b.

4) “Единица равна двум”

Простым вычитанием легко убедиться в справедливости равенства

1 - 3 = 4 - 6.

Добавив к обеим частям этого равенства число , получим новое равенство

1- 3 + = 4-6+ ,

в котором, как нетрудно заметить, правая и левая части представляют собой полные квадраты, т. е.

(1- ) =(2- )

Извлекая из правой и левой частей предыдущего равенства квадратный корень, получаем равенство:

1- =2-

откуда следует, что

1=2.

б) Алгебраические софизмы

Алгебраические софизмы – намеренно скрытые ошибки в уравнениях и числовых выражениях.

1) Докажем, что 4 = 5.

Возьмем два числа а = 4 и b = 5, их полусумму обозначим через с = (а+b)/2.

Тогда а = 2с- b и 2с-а = b.

Перемножив эти равенства по­членно, получим:

а2 - 2ас = b 2 - 2 b с.

Прибавив к обеим частям по с2, получим:

а2 - 2 ас + с2 = b 2- 2 b с + с2

или (а - с)2 = (b - с)2.

Значит, а-с=b-с, откуда а = 6, то есть 4 = 5.

Ошибка: Если квадраты чисел равны, то сами числа не обязатель­но равны, они могут быть и проти­воположными. Равенство а-с= b-с в данном случае неверно, должно быть а-с= b-с или а - с = с - b.

Общий вид:“Все числа равны между собой”

Возьмём два произвольных неравных между собой числа а и b и запишем для них очевидное тождество:

а2 -2ab+b2 = b2 -2ab+ а2

Слева и справа стоят полные квадраты, т. е. можем записать

(а-b)2 = (b-а)2. (*)

Извлекая из обеих частей последнего равенства квадратный корень, получим:

а - b = b - a (**)

откуда 2а = 2b или окончательно a=b.

Ошибка:

2) Докажем, что число 0 (нуль) больше любого числа а.

Если число а отрицательное, то утверждение очевидно.

Пусть а — сколь угодно боль­шое положительное число. Ясно, что а - 1 < а.

Умножим обе части этого неравенства почленно на - а, получим:

- а2 + а< - а2.

Прибавив к обеим частям полу­ченного неравенства по а2, получим: - а2 + а + а2 < - а2 + а2, то есть а < 0.

Следовательно, любое, даже сколь угодно большое положитель­ное число а меньше 0.

Ошибка: При умножении обеих частей неравенства на -а, то есть на отрицательное число, знак неравенства необходимо поменять на противоположный.

3) Докажем, что любое число рав­но 0.

Рассмотрим сумму: а - а + а - а + а - а + а -...

Эту сумму можно представить двояко:

(а-а) + (а-а) + (а-а) + ... =0 или а-(а-а)-(а-а)-(а-а)-... =а.

Левые части этих выражений равны, значит, равны и правые, и, следовательно, а - 0.

Ошибка: В первом выраже­нии рассматривается четное количе­ство слагаемых, а во втором — не­четное, поэтому результаты отлича­ются на а.

 

в) Геометрические софизмы

Геометрические софизмы основаны на ошибках связанных с геометрическими фигурами и действиями над ними.

1) «Хорда, не проходящая через центр окружности, равна диаметру».

Доказательство:

Пусть в окружности проведен диаметр АВ. Через точку В проведем любую хорду ВЕ, не проходящую через центр, затем через середину этой хорды D и точку А проведем новую хорду АС. Наконец, точки Е и С соединим отрезком прямой.

Рассмотрим ∆ АВD и ∆ЕDС. В этих треугольниках: ВD = DЕ (по построению), <А=

= <Е (как вписанные, опирающиеся на одну и ту же дугу). Кроме того, <ВDА=

= <ЕDC (как вертикальные). Если же сторона и два угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум углам другого треугольника, то такие треугольники равны. Значит, ∆ ВDА= ∆ЕDC , а в равных треугольниках против равных углов лежат равные стороны. Поэтому, АВ=ЕС.

Ошибка: ошибка заключается в неправильном применении теоремы о равенстве треугольников. По теореме о признаке равенства треугольника: если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны. А в нашем случае, < А не прилежит к стороне ВD .

2) «Спичка вдвое длиннее телеграфного столба».

Доказательство:

Пусть а длина спички и b - длина столба. Разность между b и a обозначимчерез c .

Имеем b - a = c, b = a + c.

Перемножим два этих равенства по частям, находим: b2 - ab = ca + c2.

Вычтем из обеих частей bc. Получим: b2- ab - bc = ca + c2 - bc, или

b(b - a - c) = - c(b - a - c), откуда

b = - c, но c = b - a, поэтому b = a - b, или a = 2b.

Ошибка: ошибка заключается в том,что вравенстве выражений b(b-a-c )=-c(b-a-c)

производится деление на 0.

Это лишь несколько из множе­ства известных еще с древности и дошедших до нас логических и ма­тематических софизмов. Софизмы способствовали повышению строгости математических рассуждений и содействовали более глубокому уяснению понятий и методов математики. Для изучающих математику софизмы полезны еще и тем, что их разбор развивает логическое мышление.

Обнаружить ошибку в софизме – это значит осознать ее, а осознание ошибки предупреждает от повторения ее в других математических рассуждениях.

Классификация, рассмотренных нами софизмов, по допущенным в них ошибках и темах, при изучении которых, на наш взгляд их можно использовать представлена нами в приложении.

Заключение

Итак, софизм – это изобре­тение человеческого разума, с помо­щью которого можно доказать всё, что угодно. Впрочем, и опровергнуть можно тоже всё. Недаром вели­кий русский ученый И. П. Павлов говорил, что «правильно понятая ошибка – это путь к открытию».

Поначалу может показаться, что существует мало софизмов, или что они не используются в жизни, то есть бесполезны. Но это не так. Существует огромное множество разных видов софизмов. И математические софизмы – всего лишь небольшая их часть. За свою жизнь человек слышит десятки софизмов, не умея отличить их от правдивых утверждений, и даже не зная, что вообще означает слово софизм.

Понять софизм, то есть решить его, получается не сразу. Поначалу, чтобы решить некоторые софизмы, приходилось по многу раз их внимательно перечитывать, вдумываться и всматриваться, например в софизме «Хорда, не проходящая через центр окружности, равна диаметру» нам пришлось долго искать ошибку. Теперь, к концу работы над исследованием ошибки нам стали находиться быстрее. Мы считаем, что хорошо развитое логическое мышление может помочь не только в решении задач, но и в обычной жизни. Вообще, решение софизмов – интересное и познавательное занятие. Им можно заниматься как целенаправленно, так и в свободное время для собственного удовольствия, как например решение сканвордов или судоку.

Вот такие они софизмы и вот такая она – софистика. И в ней есть своя логика, может, это не логика с большой буквы, но хотя бы своя софистическая логика. А это достойно того, чтобы к этой логике приглядеться, хотя она и замешана на логических ошибках. Но ведь логика изучает законы не только правильного, но и неправильного мышления. Ибо нельзя познать ис­тину, не познав ложь, как нельзя постичь добро, не ведая зла. В мире все так: свет соседствует с тенью, жизнь – со смертью, а ис­тина – с ложью.

Мы пришли к выводу, что математические софизмы развивают наблюдательность и вдумчивость, приучают тщательно следить за точностью формулировок, правильностью записей и чертежей, за законностью выполняемых операций. Ну, и, наконец, разбор софизмов просто увлекателен – это изящная гимнастика для ума любого человека.

Так как мы не сильны в создании собственных софизмов, то для исследования в работе мы воспользовались софизмами из книги [3]

 





Дата добавления: 2015-06-04; Просмотров: 2305; Нарушение авторских прав?;


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



ПОИСК ПО САЙТУ:


Читайте также:



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2017) год. Не является автором материалов, а предоставляет студентам возможность бесплатного обучения и использования! Последнее добавление ip: 54.80.132.10
Генерация страницы за: 0.027 сек.