КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Однородные дифференциальные уравненияУравнения с разделяющимися переменными
Наиболее простым ДУ первого порядка является, уравнение вида
. (4.5)
Внем одно слагаемое зависит только от x, а другое - от у. Иногда такие ДУ называют уравнениями с разделенными переменными. Проинтегрировав почленно это уравнение, получаем:
- его общий интеграл.
Пример 4.2. Найти общий интеграл уравнения х × dx + у × dy = 0.
Решение: Данное уравнение есть ДУ с разделенными переменными.
Поэтому или Обозначим .
Тогда - общий интеграл ДУ.
Более общий случай описывают уравнения с разделяющимися переменными, которые имеют вид:
(4.6) Особенность уравнения (4.6) в том, что коэффициенты при dx и dy представляют собой произведения двух функций (чисел), одна из которых зависит только от х, другая - только от у. Уравнение (4.6) легко сводится к уравнению (4.5) путем почленного деления его на . Получаем:
, - общий интеграл. Замечания. 1. При проведении почленного деления ДУ на могут быть потеряны некоторые решения. Поэтому следует отдельно решить уравнение и установить те решения ДУ, которые не могут быть получены из общего решения, - особые решения. 2. Уравнение также сводится к уравнению с разделенными переменными. Для этого достаточно положить и разделить переменные. 3. Уравнение , где a, b, c - числа, путем замены ах + by + с = и сводится к ДУ с разделяющимися переменными. Дифференцируя по х, получаем:
, т.е. , откуда следует .
Интегрируя это уравнение и заменяя и на ах + by + с, получим общий интеграл исходного уравнения.
Пример 4.3. Решить уравнение (у + ху) dx + (х — ху) dy = 0.
Решение: Преобразуем левую часть уравнения:
.
Оно имеет вид (4.6). Делим обе части уравнения на :
.
Решением его является общий интеграл , т.е. .
Здесь уравнение имеет вид . Его решения х = 0, у = 0 являются решениями данного ДУ, но не входят в общий интеграл. Значит, решения х = 0, у = 0 являются особыми.
Пример 4.4. Решить уравнение , удовлетворяющее условию .
Решение: Имеем: или . Проинтегрировав, получим: , т. е. общее решение ДУ.
Оно представляет собой, геометрически, семейство равносторонних гипербол. Выделим среди них одну, проходящую через точку (4; 1). Подставим х = 4 и y = 1 в общее решение уравнения: , - с = 4. Получаем: - частное решение уравнения .
Пример 4.5. Найти общее решение ДУ , - замедленное движение точки.
Решение: Приведем данное уравнение к виду (4.5):
, , .
Интегрируем: , т.е. .
Отсюда - общее решение уравнения.
К уравнению с разделяющимися переменными приводятся однородные ДУ первого порядка. Функция f(x;y) называется однородной функцией п-го порядка (измерения), если при умножении каждого ее аргумента на произвольный множитель вся функция умножится на , т. е.
.
Например, функция - есть однородная функция второго порядка, поскольку
.
Дифференциальное уравнение (4.7) называется однородным, если функция f(x;y) есть однородная функция нулевого порядка.
Покажем, что однородное ДУ (4.7) можно записать в виде
. (4.8)
Если - однородная функция нулевого порядка, то, по определению, . Положив , получаем: .
Однородное уравнение (4.8) преобразуется в уравнение с разделяющимися переменными при помощи замены переменной (подстановки)
или, что то же самое, . (4.9)
Действительно, подставив и в уравнение (4.8), получаем или , т. е. уравнение с разделяющимися переменными. Найдя его общее решение (или общий интеграл), следует заменить в нем на . Получим общее решение (интеграл) исходного уравнения. Однородное уравнение часто задается в дифференциальной форме: P(x;y)∙dx + Q(x;y)∙dy = 0. (4.10) ДУ (4.10) будет однородным, если Р(х; у) и Q(x; у) - однородные функции одинакового порядка. Переписав уравнение (4.10) в виде и применив в правой части рассмотренное выше преобразование, получим уравнение . При интегрировании уравнений вида (4.10) нет необходимости предварительно приводить их (но можно) к виду (4.8): подстановка (4.9) сразу преобразует уравнение (4.10) в уравнение с разделяющимися переменными.
Пример 4.6. Найти общий интеграл уравнения .
Решение: Данное уравнение однородное, т. к. функции Р(х; у) = и Q(x;y) = однородные функции второго порядка. Положим . Тогда . Подставляем в исходное уравнение: , , последнее - уравнение с разделяющимися переменными. Делим переменные: и интегрируем: , , .
Обозначим: , . Тогда: .
Заменяя на , получаем: х2 + у2 = - общий интеграл исходного уравнения.
Отметим, что данное уравнение можно было сначала привести к виду (4.8):
, , .
Затем положить , тогда и т.д.
Замечание. Уравнение вида , где a, b, c, a1, b1, c1 - числа, приводится к однородному или с разделяющимися переменными. Для этого вводят новые переменные u и v, положив , где и - числа. Их подбирают так, чтобы уравнение стало однородным.
Пример 4.7. Найти общий интеграл уравнения
, т.е. .
Решение: Положив , , получаем: , ; .
Подберем и так, чтобы , .
Находим: , . В этом случае заданное уравнение примет вид:
и будет являться однородным. Его решение получается, как это было показано выше, при помощи подстановки v = t·u. Заметим, что, решив его, следует заменить и и v соответственно на и . В итоге получим - общий интеграл данного уравнения.
Дата добавления: 2015-06-04; Просмотров: 802; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |