Дифференциальные уравнения первого порядка

Дифференциальное уравнение первого порядка в общем случае можно записать в виде

F(x;y;y')=0. (4.1)

Уравнение связывает независимую переменную х, искомую функцию у и ее производную у'. Если уравнение (4.1) можно разрешить относительно у', то его записывают в виде

у' = f (х; у) (4.2)

и называют ДУ первого порядка, разрешенным относительно производной. Мы в основном будем рассматривать эту форму записи ДУ.

Уравнение (4.2) устанавливает связь (зависимость) между координатами точки (х; у) и угловым коэффициентом у' касательной к интегральной кривой, проходящей через эту точку. Следовательно, ДУ у' = f(x;y) дает совокупность направлений (поле направлений) на плоскости Оху. Таково геометрическое истолкование ДУ первого порядка.

Кривая, во всех точках которой направление поля одинаково, называется изоклиной. Изоклинами можно пользоваться для приближенного построения интегральных кривых. Уравнение изоклины можно получить,

если положить у' = с, т. е. f(x; у) = с.

Пример 4.1. С помощью изоклин начертить вид интегральных кривых уравнения

у' = 2х.

Решение: Уравнение изоклин этого ДУ будет 2х = с, т. е. изоклинами здесь будут прямые, параллельные оси Оу .

Рис. 13

В точках прямых проведем отрезки, образующие с осью Ох один и тот же угол , тангенс которого равен с. Так:

при с = 0 имеем х = 0, tg = 0, поэтому = 0;

при с = 1уравнение изоклины , поэтому tg =1 и = 45°;

при с = -1 tg =-1 и ;

при с = 2 tg =2 и

и т. д.

Построив четыре изоклины и отметив на каждой из них ряд стрелочек, наклоненных к оси Ох под определенным углом (см. рис. 13), по их направлениям строим линии. Они, как видно, представляют собой семейство парабол.

Дифференциальное уравнение первого порядка, разрешенное относительно производной, можно записать в дифференциальной форме:

Р (х; y) · dx + Q(x; y) · dy = 0, (4.3)

где Р(х;у) и Q(x; у) — известные функции. Уравнение (4.3) удобно тем, что переменные х и у в нем равноправны, т. е. любую из них можно рассматривать как функцию другой. Отметим, что от одного вида записи ДУ можно перейти к другому.

Интегрирование ДУ в общем случае приводит к бесконечному множеству решений (отличающихся друг от друга постоянными величинами). Легко догадаться, что решением уравнения у' = 2х является функция у = х², а также у = х² + 1, и вообще

у = х² + с, где с — const.

Чтобы решение ДУ приобрело конкретный смысл, его надо подчинить некоторым дополнительным условиям.

Условие, что при х = х₀ функция у должна быть равна заданному числу y₀, т.е. у = y₀ называется начальным условием. Начальное условие записывается в виде

y(x₀) = y₀ или (4.4)

Общим решением ДУ первого порядка называется функция , содержащая одну произвольную постоянную и удовлетворяющая условиям:

1. Функция является решением ДУ при каждом фиксированном значении с.

2. Каково бы ни было начальное условие (4.4), можно найти такое значение постоянной c=c₀, что функция удовлетворяет данному начальному условию.

Частным решением ДУ первого порядка называется любая функция , полученная из общего решения при конкретном значении постоянной c=c₀.

Если общее решение ДУ найдено в неявном виде, т. е. в виде уравнения , то такое решение называется общим интегралом ДУ.

Уравнение в этом случае называется частным интегралом уравнения.

С геометрической точки зрения есть семейство интегральных кривых на плоскости Оху; частное решение - одна кривая из этого семейства, проходящая через точку (x₀;y₀).

Задача отыскания решения ДУ первого порядка (4.3), удовлетворяющего заданному начальному условию (4.4), называется задачей Коши.

Теорема 4.1 (существования и единственности решения задачи Коши). Если в уравнении (4.2) функция f(x;y) и ее частная производная f'_y (x;y)непрерывны в некоторой области D, содержащей точку (x₀;y₀), то существует единственное решение этого уравнения, удовлетворяющее начальному условию (4.4).

(Без доказательства).

Геометрический смысл теоремы состоит в том, что при выполнении ее условий существует единственная интегральная кривая ДУ, проходящая через точку (x₀;y₀).

Рассмотрим теперь методы интегрирования ДУ первого порядка определенного типа.

Дата добавления: 2015-06-04