Механика

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

1. Движение тела массой 0,1 кг задано уравнением: Найти зависимость скорости и ускорения от времени. Вычислить силу, действующую на тело в конце первой секунды.

Дано:

Найти: v, a, F.

Решение: Мгновенную скорость находим как производную от координаты по времени:

Мгновенное ускорение – это первая производная от скорости по времени:

Сила, действующая на тело, определяется по второму закону Ньютона:

В конце первой секунды:

Ответ: v=6t²+2t+1, a=12t+2, 1,4 Н.

2. Сплошной цилиндр массой 0,5 кг и радиусом 0,02 м вращается относительно оси, совпадающей с осью цилиндра по закону: На цилиндр действует сила, касательная к поверхности. Определить эту силу и тормозящий момент.

Дано:

Найти: F, M.

Решение: Цилиндр вращается относительно оси, совпадающей с его осью, по закону:

Угловое ускорение определяется как вторая производная от угла поворота по времени:

или

Здесь ω – угловая скорость, равная первой производной от угла поворота по времени: Тогда ε= −1 рад/с².

Момент силы относительно оси вращения равен: M = F R sin α.

Сила действует касательно к поверхности, поэтому sin α = 1, тогда M = FR, откуда

(1)

Тормозящий момент можно определить из основного уравнения динамики вращательного движения:

,

(2)

где I – момент инерции цилиндра относительно оси вращения. В данном случае ось вращения совпадает с осью цилиндра, поэтому:

(3)

Подставляя (3) в (1), имеем:

Ответ: F = -0,005 Н; М = -1×10^-4 Н×м.

3. Тело длиной 1 м движется мимо наблюдателя со скоростью 0,8×с. Какой покажется наблюдателю его длина?

Дано: l₀ = 1м, v = 0,8×с.

Найти: l.

Решение: Зависимость длины тела от скорости в релятивистской механике выражается формулой:

(1)

где l₀ – длина покоящегося тела, v – скорость его движения,
с – скорость света в вакууме.

Подставляя в формулу (1) числовые значения, получим:

Ответ: l= 0,6 м.

4. Две частицы движутся навстречу друг другу со скоростями: 1) v = 0,5×c и u =0,75×c. 2) v = c и u = 0,75×c. Найти их относительную скорость в первом и втором случаях.

Дано: 1) v = 0,5×c; u = 0,75×c.

2) v = c; u = 0,75×c.

Найти: u₁, u₂.

Решение: Согласно теореме сложения скоростей в теории относительности:

где с – скорость света в вакууме.

Для первого и второго случаев находим:

Ответ: 0,91×с; с.

5. Молот массой 70 кг падает с высоты 5 м и ударяет по железному изделию, лежащему на наковальне. Масса наковальни вместе с изделием 1330 кг. Считая удар абсолютно неупругим, определить энергию, расходуемую на деформацию изделия. Систему молот- изделие- наковальня считать замкнутой.

Дано: m₁ =70 кг; h = 5 м; m₂ = 1330 кг.

Найти: Е_д.

Решение: По условию задачи, система молот – изделие – наковальня считать замкнутой, а удар – неупругим. На основании закона сохранения энергии можно считать, что энергия, затраченная на деформацию изделия, равна разности значения механической энергии системы до и после удара.

Считаем, что во время удара изменяется только кинетическая энергия тел, то есть незначительным перемещением тел по вертикали во время удара пренебрегаем. Тогда энергия деформации изделия равна:

,

(1)

где v − скорость молота в конце падения с высоты h, v₁ − общая скорость всех тел системы после неупругого удара. Скорость молота в конце падения с высоты h определяется без учёта сопротивления воздуха и трения по формуле:

(2)

Общую скорость всех тел системы после неупругого удара найдём, применив закон сохранения количества движения:

(3)

Для рассматриваемой системы закон сохранения количества движения имеет вид:

откуда

(4)

Подставив в формулу (1) выражения (2) и (4), получим:

Ответ: 3258 Дж.

6. Тело массой 1 кг ударяется о неподвижное тело массой 4 кг. Считая удар центральным и абсолютно упругим, найти, какую часть энергии передаёт первое тело второму при ударе.

Дано: m₁ = 1 кг; m₂ = 4 кг; v₂ = 0.

Найти: Т₂/Т₁.

Решение: Поскольку удар абсолютно упругий, выполняется закон сохранения энергии:

(1)

где v_1, v₂, u_1, u₂ – скорости тел соответственно до и после удара. Кинетическая энергия второго тела до удара была равна нулю. После удара изменение энергии второго тела равно: где Т₂ – кинетическая энергия второго тела после удара. По определению,

Так как удар центральный, то выполняется закон сохранения импульса:

(2)

Так как v₂ = 0, то выражения (1) и (2) примут вид:

(3)

Решая полученные уравнения, получим:

Кинетическая энергия второго тела после удара равна:

Определим часть энергии, которую передаст первое тело при ударе:

Ответ: 0,64.

7. Тело массой 1 кг под действием постоянной силы движется прямолинейно. Зависимость пути, пройденного телом, от времени задана уравнением: Определить работу силы за 10 с от начала её действия, и зависимость кинетической энергии от времени.

Дано: m = 1 кг; s = 2t² + 4t + 1; t = 10 с.

Найти: А, Т.

Решение: Работа, совершаемая силой, равна:

(1)

Сила, действующая на тело, по второму закону Ньютона равна:

(2)

Мгновенное ускорение определяется первой производной от скорости по времени или второй производной от пути по времени. В соответствии с этим:

	(3)
	(4)

Тогда имеем:

(5)

Из выражения (3) находим:

(6)

Подставив (5) и (6) в уравнение (1), получим

А = 960 Дж.

Кинетическая энергия равна:

Ответ: 960 Дж;

8. Нейтрон движется со скоростью 0,6×с. Найти количество движения и кинетическую энергию нейтрона.

Дано: v= 0,6×c, m₀= 1,67×10^{-27 кг.}

Найти: р; Т.

Решение: Количество движения нейтрона равно:

p = mv.

(1)

Так как скорость нейтрона сравнима со скоростью света, необходимо учесть зависимость массы от скорости, воспользовавшись релятивистским выражением для массы:

(2)

Здесь m₀ – масса покоя нейтрона, m – масса движущегося нейтрона, v – скорость нейтрона, с – скорость света в вакууме. Подставляя (2) в (1) и учитывая, что v = βс, получаем:

В релятивистской механике кинетическая энергия частицы определяется как разность между полной энергией Е и энергией покоя Е₀ этой частицы:

Т = Е – Е0.

(3)

Здесь

Тогда

Вычисляя, получим:

р = 3,75×10^-19 кг×м/с; Т= 0,37×10^-10 Дж.

Ответ: 3,75×10^-19 кг×м/с; 0,37×10^-10 Дж.

9. Какую скорость нужно сообщить ракете, чтобы она, стартовав с Земли, не вернулась на Землю? Сопротивление атмосферы не учитывать.

Дано: R = 6,4×10⁶ м; g = 9,8 м/с²; r→∞.

Найти: v₀.

Решение: С удалением ракеты от Земли будет увеличиваться её потенциальная энергия и уменьшаться кинетическая. По закону сохранения энергии:

(1)

где m – масса ракеты, М – масса Земли, v и v₀- скорости ракеты относительно Земли в рассматриваемый и начальный момент, R и r- расстояния от центра Земли до ракеты в начальный и рассматриваемый моменты.

После преобразования уравнения (1) имеем:

Ракета не вернётся на Землю, если её скорость v будет в бесконечности равна нулю, то есть v = 0 при r →∞. В этом случае

(2)

Из закона всемирного тяготения следует, что на поверхности Земли откуда

(3)

где g − ускорение свободного падения. Подставим (2) в (3):

или

Считая, что ракета приобретает нужную скорость v₀ уже вблизи поверхности Земли, находим v₀:

Такая скорость необходима для преодоления гравитационного поля Земли. Она называется второй космической или параболической скоростью.

Ответ: 11,2 км/с.

10. Тонкий стержень массой 300 г и длиной 50 см вращается с угловой скоростью 10 с^-1 в горизонтальной плоскости вокруг вертикальной оси, проходящей через середину стержня. Найти угловую скорость, если в процессе вращения в той же плоскости стержень переместится так, что ось вращения пройдёт через конец стержня.

Дано: m = 0,3 кг; l = 0,5 см; ω₁= 10 с^-1.

Найти: ω₂.

Решение: Используем закон сохранения момента количества движения:

(1)

где I – момент инерции стержня относительно оси.

Для изолированной системы тел векторная сумма моментов количества движения остаётся постоянной. В данной задаче, вследствие того, что распределение массы стержня относительно оси изменяется, момент инерции стержня также изменится. В соответствии с (1) запишем:

(2)

Известно, что момент инерции стержня относительно оси, проходящей через центр масс и перпендикулярной стержню, равен:

(3)

По теореме Штейнера, где I – момент инерции относительно оси, проходящей через конец стержня; d – расстояние от центра масс до выбранной оси вращения.

Найдём момент инерции относительно оси, проходящей через его конец и перпендикулярной стержню:

(4)

Подставим (3) и (4) в (2):

откуда

Ответ: 2,5 с^-1.

11. Диск массой 2 кг радиусом 10 см вращается вокруг горизонтальной оси, проходящей через его центр с частотой 600 мин^-1. Через 20 с под действием тормозящего момента диск остановился. Считая массу диска равномерно распределённой, найти тормозящий момент и число оборотов, которое сделает диск до полной остановки.

Дано: ω = 0; m = 2 кг; n = 600 мин^-1 = 10 с^-1; Δt = 20 с;R = 0,1 м.

Найти: М; N.

Решение: Для тормозящего момента М сил, действующих на тело, нужно применить основное уравнение динамики вращательного движения:

(1)

где J – момент инерции диска относительно оси, проходящей через центр масс; Δω – изменение угловой скорости за промежуток времени Δt.

По условию задачи, Δω = – ω₀, где ω₀ начальная угловая скорость, так как конечная угловая скорость равна 0. выразим начальную угловую скорость через частоту вращения диска, тогда ω₀ = 2π n, Δω =-2π n. Момент инерции диска равен:

, где m – масса диска, R – его радиус.

Тогда формула (1) примет вид:

откуда

Угол поворота, то есть угловой путь φ за время вращения диска до остановки может быть определён по формуле для равнозамедленного вращения:

(2)

Так как то число полных оборотов N равно:

Подставляя числовые данные, получим:

Ответ: -3,1×10² Н×м; 100.

Дата добавления: 2015-06-04