Похідна функції комплексної змінної. Умови диференційованості

Нехай задана в області .

Означення: Функція має в точці похідну, якщо існує скінчена границя .

Означення: Функція називається диференційованою в точці , якщо приріст функції в точці має вигляд

,

де , нескінченно мала більш високого порядку ніж .

Як і у випадку дійсної функції диференційованість в точці еквівалентна існуванню скінченої похідної функції в (див. [2]). Крім того, з диференційованості функції в точці слідує її неперервність в цій точці.

Безпосередньо із означення похідної слідує, що всі властивості похідної функції дійсної змінної виконуються і в нашому випадку.

Приклад 1

, тоді .

Приклад 2

. Знайти .

Похідну знайдемо за означенням

, , .

тобто границя не існує, а отже не має похідної в точці .

У випадку, коли функція задана в термінах , , тобто , то диференційованість її, як умова еквівалентна існуванню похідної по , перевірити важко. В цьому випадку корисна наступна теорема.

Теорема. Для того, щоб функція буда диференційованою в точці , необхідно і достатньо, щоб функції , були диференційованими в точці як функції двох дійсних змінних і та виконувалися умови Коші-Римана:

, .

Доведення див. [1, с. 31] або [2, с. 85], [3, с. 33].

При цьому виконується рівність

.

Означення: Якщо функція диференційована у всіх точках області , то називається аналітичною в .

Приклад 1

Дослідити на диференційованість .

Розв’язання

, , , , , тобто . Отже, не диференційована в .

Приклад 2

. Знайти , якщо вона диференційована.

Розв’язання

, , . Оскільки , , то , . З останніх рівностей отримаємо, що

, .

Вправи

Показати, що функції диференційовані

1. .

2. ,

3. ,

Довести, що функції не диференційовані.

4. .

5. .

6. Знайти , , , при яких буде аналітичною.

Знайти аналітичну функцію .

7. , .

8. , .

9. .

10. При якому – аналітична?

Геометричний зміст модуля і аргументи

Дата добавления: 2015-06-04