Вве­де­ние

Фрагмент 2

Цель ра­бо­ты: Из­ме­ре­ние за­ви­си­мо­сти элек­три­че­ско­го со­про­тив­ле­ния ме­тал­ли­че­ско­го и по­лу­про­вод­ни­ко­во­го об­раз­цов от тем­пе­ра­ту­ры. Оп­ре­де­ле­ние тем­пе­ра­тур­но­го ко­эф­фи­ци­ен­та со­про­тив­ле­ния ме­тал­ла и ши­ри­ны за­пре­щен­ной зо­ны по­лу­про­вод­ни­ка.

Обо­ру­до­ва­ние: ис­сле­дуе­мые об­раз­цы (ме­талл, по­лу­про­вод­ник), термо­па­ра, мик­ро­ам­пер­метр, циф­ро­вой ом­метр (Щ4313), ис­точ­ник пе­ре­ме­но­го то­ка.

Элек­три­че­ский ток есть на­прав­лен­ное дви­же­ние за­ря­жен­ных час­тиц под дейс­тви­ем элек­три­че­ско­го по­ля. Нет за­ря­жен­ных час­тиц - нет и то­ка. По­это­му объ­ем, за­пол­нен­ный элек­три­че­ски ней­траль­ны­ми ато­ма­ми лю­бо­го ве­ще­ст­ва, пред­став­ля­ет со­бой иде­аль­ный изо­ля­тор. На­при­мер, воз­дух. В ка­ж­дом ку­би­че­ском сан­ти­мет­ре воз­ду­ха на­хо­дит­ся 2,7^.10¹⁹ мо­ле­кул ки­сло­ро­да, азо­та, во­дя­ных па­ров и про­чих га­зов. В ка­ж­дом ато­ме ки­сло­ро­да име­ет­ся 8 по­ло­жи­тель­но за­ря­жен­ных про­то­нов и столь­ко же от­ри­ца­тель­но за­ря­жен­ных элек­тро­нов. В ка­ж­дом ато­ме азо­та - 7 про­то­нов и 7 элек­тро­нов. За­ря­жен­ных час­тиц - хоть от­бав­ляй. Но все они мощ­ны­ми элек­три­че­ски­ми си­ла­ми свя­за­ны в ней­траль­ные ато­мы и мо­ле­ку­лы. В ре­зуль­та­те воз­дух - пре­крас­ный изо­ля­тор. Точ­но та­ким же изо­ля­то­ром бу­дет объ­ем, за­пол­нен­ный га­зом ней­траль­ных ато­мов, на­при­мер, се­реб­ра, ме­ди, зо­ло­та или рту­ти.

Ка­за­лось бы, твер­дые те­ла со­сто­ят из та­ких же ато­мов, но про­во­ди­мость хо­ро­ше­го про­вод­ни­ка (на­при­мер, се­реб­ра) больше, чем про­во­ди­мость хо­ро­ше­го изо­ля­то­ра (на­при­мер, стек­ла) при­мер­но в 10²² раз. Эту раз­ни­цу мож­но ощу­тить яс­нее, ес­ли пред­ста­вить се­бе, что во столь­ко же раз раз­мер на­шей га­лак­ти­ки боль­ше, чем 1 см.

Бо­лее то­го, ато­мы од­но­го и то­го же ве­ще­ст­ва, на­при­мер, уг­ле­ро­да в за­ви­си­мо­сти от то­го, в ка­кую кри­стал­ли­че­скую ре­шет­ку твер­до­го те­ла они со­еди­ни­лись, мо­гут об­ра­зо­вать и очень хо­ро­ший про­вод­ник - гра­фит, и пре­крас­ный изо­ля­тор - ал­маз. Этот при­мер по­ка­зы­ва­ет, что бу­дет ли твер­дое те­ло ме­тал­лом или ди­элек­три­ком за­ви­сит не толь­ко и да­же не столь­ко от свойств ато­мов, сколь­ко от ти­па свя­зей, объ­е­ди­няю­щих ато­мы в кри­стал­ли­че­скую ре­шет­ку твер­до­го те­ла.

При об­ра­зо­ва­нии ме­тал­ли­че­ских кри­стал­лов ато­мы, объ­е­ди­ня­ясь в кри­сталл, те­ря­ют свои ва­лент­ные элек­тро­ны и кри­стал­ли­че­скую ре­шет­ку об­ра­зу­ют уже по­ло­жи­тель­но за­ря­жен­ные ио­ны. При этом элек­тро­ны не при­над­ле­жат ни­ка­ко­му кон­крет­но­му ио­ну, они обоб­ще­ст­в­ле­ны кри­стал­лом и мо­гут сво­бод­но пе­ре­дви­гать­ся под дей­ст­ви­ем внеш­не­го элек­три­че­ско­го по­ля. Это сво­бод­ные но­си­те­ли за­ря­да или элек­тро­ны про­во­ди­мо­сти. Их кон­цен­тра­цию мож­но вы­чис­лить сле­дую­щим об­ра­зом

, (1)
где r _m - плот­ность ме­тал­ла; M и V_м - мо­ляр­ные мас­са и объ­ем ме­тал­ла; z - чис­ло ва­лент­ных элек­тро­нов, ко­то­рые от­дал ка­ж­дый атом в "кол­ле­ктив" элек­тро­нов про­во­ди­мо­сти (на­при­мер, для ме­ди и се­ре­б­ра z = 1; для цин­ка и маг­ния z = 2; для пла­ти­ны z = 4). Кон­цен­тра­ция элек­тро­нов про­во­ди­мо­сти в ме­тал­лах очень ве­ли­ка (обыч­но 10²² - 10²³ см^-3 или 10²⁸ - 10²⁹м^-3), по­это­му ме­тал­лы яв­ля­ют­ся пре­вос­ход­ны­ми про­вод­ни­ка­ми.

Ина­че об­сто­ит де­ло в ди­элек­три­ках и по­лу­про­вод­ни­ках. В этих кри­стал­лах ка­ж­дый атом свя­зан с бли­жай­ши­ми со­се­дя­ми проч­ны­ми элек­трон­ны­ми свя­зя­ми. Что­бы ра­зо­рвать эти свя­зи и соз­дать сво­бод­ные элек­тро­ны, спо­соб­ные пе­ре­но­сить элек­три­че­ский ток, не­об­хо­ди­мо за­тра­тить энер­гию. Ве­ли­чи­на этой энер­гии в не­ме­тал­ли­че­ском кри­стал­ле обо­зна­ча­ет­ся сим­во­лом e_g. Она яв­ля­ет­ся важ­ней­шей ха­рак­те­ри­сти­кой кри­стал­ла. Зна­че­ние e_g за­ви­сит от cтрук­ту­ры кри­стал­ла, от свойств ато­мов, об­ра­зую­щих кри­сталл, и у раз­лич­ных ма­те­риа­лов ле­жит в пре­де­лах от ну­ля до не­сколь­ких де­сят­ков элек­трон-вольт. В обыч­ных жи­тей­ских мас­шта­бах энер­гия, рав­ная 1эВ = 1,6×10^--19 Дж, ни­чтож­на. Но в ми­ре ато­мов и элек­тро­нов эта ве­ли­чи­на вы­гля­дит очень со­лид­но. Так, сред­няя энер­гия те­п­ло­вых ко­ле­ба­ний час­ти­цы при ком­нат­ной тем­пе­ра­ту­ре рав­ня­ет­ся все­го kT = 0.026 эВ (k =8.6^. 10^{-5 эВ}/_К - по­сто­ян­ная Больц­ма­на). Энер­гия фо­то­на крас­но­го све­та рав­на ~1,8 эВ. Ки­не­ти­че­ской энер­гии элек­тро­на в 1 эВ со­от­вет­ст­ву­ет его скорость ~6 ^. 10^7см/_с = 6 ^. 10^{5 м}/_с = 6000 ^км/_с.

Если значение e_g велико, то нагревание до очень высоких температур не создает в кристалле заметного числа свободных электронов. Кристалл может даже раньше расплавиться, чем в нем появятся свободные электро-ны. Такие кристаллы с большими значениями e_g являются типичными диэ-лектриками.

В проводниках (металлах) реализуется ситуация, когда все электро-нные связи разорваны и все валентные электроны свободны даже при аб-солютном нуле температуры, поэтому концентрация электронов практи-чески не зависит от температуры. Иными словами - для металлов e_g = 0.

В кристалле с небольшим значением e_g нагревание даже до не сли-шком высокой температуры приведет к разрыву значительного числа элек-тронных связей и появлению свободных электронов. Кристалл приобретет способность проводить электрический ток. Концентрация свободных элек-тронов, пропорциональная числу разорванных связей, будет резко расти с увеличением температуры. Такие кристаллы относятся к классу полупро-водников, т.е. неметаллических материалов с относительно небольшой ве-личиной энергии e_g. Значения e_g для типичных полупроводников лежат в пределах от нескольких десятых долей электрон-вольта до двух-трех электрон-вольт. В таблице 1 при­ве­де­ны значения e_g для не­ко­то­рых кристаллов.

Таблица 1.

Название кристалла	Формула кристалла	eg, эВ
Антимонид индия	In Sb	0.17
Германий	Ge	0.72
Кремний	Si	1.1
Арсенид галлия	Ga As	1.4
Фосфид галлия	Ga P	2.3

Рис. 14.

Раз­ви­тие элек­три­че­ских свойств ме­тал­лов, ди­элек­три­ков и по­лу­про­вод­ни­ков мо­жет быть на­гляд­но ис­тол­ко­ва­но на язы­ке энер­ге­ти­че­ских диа­грамм в рамках, так на­зы­вае­мой, зон­ной теории, раз­ви­той на ос­но­ве кванто­вой ме­ха­ни­ки. Вы­пол­ним мыслен­но сле­дую­щий экс­пе­ри­мент. Возь­мем N ато­мов не­ко­то­ро­го ве­ще­ст­ва и рас­по­ло­жим их в про­стран­ст­ве на дос­та­точ­но боль­шом рас­стоя­нии друг от дру­га так, что­бы их раз­ме­ще­ние вос­про­из­во­ди­ло струк­ту­ру кри­стал­ла это­го ве­ще­ст­ва. Рас­стоя­ния ме­ж­ду ато­ма­ми ве­ли­ки, и мож­но пре­неб­речь их взаи­мо­дей­ст­ви­ем. Элек­тро­ны в от­дель­ных ато­мах мо­гут за­ни­мать толь­ко впол­не оп­ре­де­лен­ные элек­три­че­ские уров­ни. По­ка ато­мы на­хо­дят­ся на боль­ших рас­стоя­ни­ях друг от дру­га, они име­ют сов­па­даю­щие схе­мы энер­ге­ти­че­ских уров­ней. По ме­ре сбли­же­ния ато­мов до рас­стоя­ний, рав­ных меж­атом­ным рас­стоя­ни­ям в твер­дых те­лах, все уси­ли­ваю­щее­ся взаи­мо­дей­ст­вие ме­ж­ду ато­ма­ми при­во­дит к сме­ще­нию уров­ней и рас­ши­ре­нию их в по­ло­сы (или зо­ны) раз­ре­шен­ных для элек­тро­нов энер­ги­ей. Схе­ма об­ра­зо­ва­ния энер­ге­ти­че­ских зон кри­стал­ла из дис­крет­ных энер­ге­ти­че­ских уров­ней от­дель­ных ато­мов при их сбли­же­нии по­ка­за­на на рис. 14.

При этом окон­ча­тель­ный энер­ге­ти­че­ский спектр в об­ра­зо­вав­шем­ся кри­стал­ле бу­дет оп­ре­де­лять­ся меж­атом­ным рас­стоя­ни­ем r₀, ха­рак­тер­ным для дан­но­го кри­стал­ла.

Раз­мы­тие уров­ней в зо­ны про­исхо­дит не­за­ви­си­мо от то­го, име­ют­ся ли на со­от­вет­ст­вую­щих атом­ных уров­нях элек­тро­ны или эти уров­ни пус­ты. В по­след­нем слу­чае раз­мы­тие уров­ней от­ра­жа­ет рас­ши­ре­ние диа­па­зо­на воз­мож­ных энер­гий, ко­то­рые мо­жет при­об­ре­сти элек­трон в кри­стал­ле. Ес­те­ст­вен­но, что наи­боль­шее раз­мы­тие име­ют энер­ге­ти­че­ские уров­ни внеш­них, ва­лент­ных элек­тро­нов и уров­ни, со­от­вет­ст­вую­щие воз­бу­ж­ден­ным со­стоя­ни­ям элек­тро­нов в ато­мах.

В об­ра­зо­вав­шем­ся зон­ном энер­ге­ти­че­ском спек­тре зо­ны раз­ре­шен-ных для ато­мов энер­гий раз­де­ле­ны за­пре­щен­ны­ми про­ме­жут­ка­ми, ко­то­рые на­зы­ва­ют­ся за­пре­щен­ны­ми зо­на­ми. Ка­ж­дая из раз­ре­шен­ных зон со­дер­жит столь­ко дис­крет­ных, близ­ко рас­по­ло­жен­ных уров­ней, сколь­ко ато­мов со­дер­жит кри­сталл. В на­шем опы­те - N уров­ней. Рас­стоя­ние ме­ж­ду от­дельны­ми уров­ня­ми в зо­не (~10^--22 эВ) столь ни­чтож­но, что зо­ны мож­но счи­тать не­пре­рыв­ны­ми. Но са­ми фак­ты дис­крет­но­сти уров­ней и ко­неч­но­го чис­ла уров­ней в зо­нах иг­ра­ют прин­ци­пи­аль­ную роль, т.к. в за­ви­си­мо­сти от за­пол­не­ния зон элек­тро­на­ми твер­дые те­ла де­лят­ся на про­вод­ни­ки, ди­электри­ки и по­лу­про­вод­ни­ки.

Рис. 15.

За­пол­не­ние элек­тро­на­ми энер­ге­ти­че­ских уров­ней в зо­нах осу­ще­ст­в­ля­ет­ся в со­от­вет­ст­вии с прин­ци­пом Пау­ли, со­глас­но ко­то­ро­му на од­ном энер­ге­ти­че­ском уров­не не мо­жет на­хо­дить­ся бо­лее двух элек­тро­нов, при­чем их соб­ст­вен­ные мо­мен­ты им­пуль­са (спи­ны) долж­ны иметь про­ти­во­по­лож­ные на­прав­ле­ния. Воз­мож­ны не­сколь­ко ва­ри­ан­тов рас­по­ло­же­ния и за­пол­не­ния зон (рис. 15). Ес­ли верх­няя со­дер­жа­щая элек­тро­ны зо­на за­пол­не­на час­тич­но

или полностью заполненая электронами зона перекрывается по энергии со свободной зоной, то твердое тело будет хорошим проводником (рис. 15, а, б). В этом случае под действием внешнего электрического поля электроны смогут легко перемещаться по свободным энергетическим уровням зоны.

Если же полностью заполненная электронами зона (она называется валентной зоной) отделена запрещенной зоной от зоны, не содержащей электронов (эта зона называется зоной проводимости), то твердое тело бу-дет диэлектриком или полупроводником в зависимости от ширины запре-щенной зоны e_g (рис. 15, в, г). В этом случае при температуре абсолютного нуля свободных носителей заряда нет. Чтобы увеличить энергию электрона, необходимо сообщить ему количество энергии не меньше, чем ширина запрещенной зоны e_g. Если значение e_g невелико, то энергии теплового движения оказывается достаточно, чтобы перевести часть электронов из валентной зоны в зону проводимости. При этом возникает сразу две час-тично заполненные зоны. В зоне проводимости электроны будут находиться в условиях, аналогичных тем, в которых находятся электроны в металле. Одновременно станет возможным переход электронов валентной зоны на освободившиеся в ней верхние уровни. Таким образом, электроны обеих зон смогут дать свой вклад в электропроводность кристалла. Такой кристалл является полупроводником (рис. 15, г).

Если же ширина запрещенной зоны e_g велика, то тепловое движение не сможет забросить в зону проводимости сколько-нибудь заметное число электронов. Такой кристалл будет диэлектриком (рис. 15, в).

Оп­ре­де­лим кон­цен­тра­цию но­си­те­лей за­ря­да в по­лу­про­вод­ни­ке. Элек­тро­ны в зо­не про­во­ди­мо­сти и сво­бод­ные мес­та в ва­лент­ной зо­не воз­ни­ка­ют в по­лу­про­вод­ни­ке за счет те­п­ло­во­го дви­же­ния ре­шет­ки кри­стал­ла. Ве­ро­ят­ность пе­ре­да­чи ато­му энер­гии e_g от те­п­ло­вых ко­ле­ба­ний про­пор­цио­наль­на . Скорость образования свободных мест в валентной зоне также пропорциональна этой величине. Свободные места называют "дырками". Это, по сути дела, есть разорванные электронные связи между атомами кристалла. Покинутый электроном атом перестает быть нейтральным, на нем возникает избыточный положительный заряд + e. Этот за­ряд при­пи­сы­ва­ет­ся ра­зо­рван­ной ва­лент­ной свя­зи или сво­бод­но­му мес­ту в ва­лент­ной зо­не, т.е. вве­ден­ной фик­тив­ной час­ти­це (ква­зи­ча­сти­це) - дыр­ке. Под дей­ст­ви­ем элек­три­че­ско­го по­ля на сво­бод­ное ме­сто в ато­ме мо­жет пе­рей­ти один из свя­зан­ных элек­тро­нов со­сед­них ато­мов. Эта связь вос­ста­но­вит­ся, но од­но­вре­мен­но об­ра­зу­ет­ся но­вая ра­зо­рван­ная связь (дыр­ка) в со­сед­нем ато­ме. Т.е. дви­же­ние всей со­во­куп­но­сти элек­тро­нов в поч­ти за­пол­нен­ной ва­лент­ной зо­не по­лу­про­вод­ни­ка мож­но за­ме­нить дви­же­ни­ем пус­тых мест или ква­зи­ча­стиц - ды­рок. Элек­тро­ны в зо­не про­во­ди­мо­сти и дыр­ки в ва­лент­ной зо­не воз­ни­ка­ют па­ра­ми, т.е. кон­цен­тра­ция элек­тро­нов n рав­на кон­цен­тра­ции ды­рок p = n. Ско­рость их ге­не­ра­ции рав­на

, (2)
где a - коэффициент, различный для разных полупроводников.

Од­но­вре­мен­но с ге­не­ра­ци­ей элек­трон­но-ды­роч­ных пар идет об­рат­ный про­цесс - ре­ком­би­на­ция. При встре­че элек­трон и дыр­ка ис­че­за­ют, т.е. ре­ком­би­ни­ру­ют, вос­ста­нав­ли­ва­ет­ся ра­зо­рван­ная ва­лент­ная связь, ис­че­за­ет пус­тое ме­сто в ва­лент­ной зо­не. Ско­рость ре­ком­би­на­ции долж­на быть про­пор­цио­наль­на про­из­ве­де­нию кон­цен­тра­ций элек­тро­нов и ды­рок, и так как n = p, то

r=b×n×p=b×n²=b×p². (3)
В состоянии равновесия g = r

= b n² = b p²,

а равновесная концентрация

или (4)

где n ₀ и p₀ - концентрации, соответствующие условию T ®¥.

По­лу­про­вод­ни­ки, в ко­то­рых рав­но­вес­ные но­си­те­ли за­ря­да воз­ни­ка­ют за счет пе­ре­хо­дов элек­тро­нов из ва­лент­ной зо­ны в зо­ну про­во­ди­мо­сти, на­зы­ва­ют­ся соб­ст­вен­ны­ми. Со­от­вет­ст­вен­но, для кон­цен­тра­ции и про­во­ди­мо­сти та­ких по­лу­про­вод­ни­ков име­ем на­зва­ния соб­ст­вен­ная кон­цен­тра­ция и соб­ст­вен­ная про­во­ди­мость. При этом соб­ст­вен­ная про­во­ди­мость обу­слов­ле­на на­прав­лен­ным дви­же­ни­ем элек­тро­нов и ды­рок во внеш­нем элек­три­че­ском по­ле.

Рас­смот­рим про­цес­сы, оп­ре­де­ляю­щие си­лу то­ка I в кри­стал­ле при дей­ст­вии элек­три­че­ско­го по­ля на­пря­жен­но­стью E. Под­виж­ные элек­тро­ны ус­ко­ря­ют­ся элек­три­че­ской си­лой и при­об­ре­та­ют до­ба­воч­ную к хао­ти­че­ско­му те­п­ло­во­му дви­же­нию ско­рость v, так на­зы­вае­мую дрей­фо­вую ско­рость, на­прав­лен­ную вдоль по­ля. Эта ско­рость ко­неч­на по ве­ли­чи­не, т.к. элек­тро­ны в сво­ем дви­же­нии стал­ки­ва­ют­ся с де­фек­та­ми и те­п­ло­вы­ми ко­ле­ба­ния­ми кри­стал­ли­че­ской ре­шет­ки. Ес­ли бы столк­но­ве­ний не бы­ло, то дей­ст­вие по­сто­ян­ной элек­три­че­ской си­лы ве­ло бы к не­ук­лон­но­му воз­рас­та­нию ско­ро­сти до бес­ко­неч­но­сти. Дрей­фу элек­тро­нов со ско­ро­стью v от­ве­ча­ет плот­ность элек­три­че­ско­го то­ка

, (5)
где n - концентрация электронов.

При не слишком сильных полях дрейфовая скорость электронов пропорциональна напряженности поля :

. (6)
Ко­эф­фи­ци­ент u_n на­зы­ва­ет­ся под­виж­но­стью элек­тро­нов. Он чис­лен­но ра­вен ско­ро­сти, при­об­ре­тае­мой элек­тро­на­ми в по­ле с еди­нич­ной на­пря­жен­но­стью, на­при­мер, 1 В/м. Под­ста­вим (6) в (5):

, (7)
s=enu_n (8)
Здесь s - есть удельная электропроводность кристалла, а соотношение (7) выражает закон Ома в дифференциальной форме. Величина, обратная электропроводности, есть удельное сопротивление кристалла

(9)
Для однородного проводника длины и поперечного сечения S полное электрическое сопротивление равно

. (10)
У металлов и полупроводников наблюдаются принципиально различные зависимости их электрического сопротивления от температуры. Действительно, удельное сопротивление вещества определяется концен-трацией n и подвижностью носителей заряда u _n (9).

В металлах концентрация свободных электронов практически не за­ви­сит от тем­пе­ра­ту­ры (1), а подвижность электронов изменяется как u _n ~T^-1 С ростом температуры растет интенсивность столкновений электронов с тепловыми колебаниями решетки, что вызывает уменьшение дрейфовой скорости, приобретаемой электронами в электрическом поле. Таким об­ра­зом, в ме­тал­лах r _м~T. Опыт показывает, что для не слишком широкого интервала температур (исключая очень низкие) зависимость r _м(Т) близка к линейной.

r _м= r ₀(1+a× t), (11)
где t - температура металла в градусах Цельсия; r ₀ - удельное сопротивле-ние при 0°С; a - температурный коэффициент сопротивления. Естественно, что также зависит от температуры и полное сопротивление любого ме­тал­ли­че­ско­го об­раз­ца, ес­ли он весь на­хо­дит­ся при тем­пе­ра­ту­ре t (10)

R _м= R ₀(1+ a^.×t). (12)
По экспериментальной зависимости R _ì(t) можно определить a -тем­пе­ра­тур­ный ко­эф­фи­ци­ент со­про­тив­ле­ния

. (13)
В собственном полупроводнике полный ток складывается из тока электронов и тока дырок (n = p)

(14)
Подвижности электронов и дырок зависят от температуры, но эти слабые зависимости маскируются более сильной температурной зависимостью концентрации носителей (4). Поэтому для полупроводника можно записать s _пр, r _пр и R _пр следующим образом

(15)
(16)
(17)
Здесь Т в градусах Кельвина; s ₀, r ₀ и R ₀ - зна­че­ния па­ра­мет­ров, по­лу­чен­ные при экс­т­ра­по­ля­ции тем­пе­ра­ту­ры Т®¥. За­ви­си­мо­сти (15), (16) и (17), по­стро­ен­ные в ко­ор­ди­на­тах ln s _пр= f (¹/_T), ln r _пр= f (¹/_T) и ln R _пр= f (¹/_T), являются прямыми. По угловому коэффициенту этих прямых можно определить ширину запрещенной зоны полупроводника. Например, для уравнения (17) имеем

. (18)
Откуда получим

. (19)

Дата добавления: 2015-06-04