Определение реакций в консольной балке

Условие задания

Варианты и исходные данные домашнего задания № 3

На рис. 3.3, а изображена ось балки длиной , которая разделена на девять равных частей узловыми точками 0, 1, …, 9, а на 3.3, б показаны опоры, внешние нагрузки и номера точек их приложения. Вариант задания, т. е. схему опирания и нагружения балки, определяют по табл. 3.1 согласно шифру – двум последним цифрам зачётной книжки студента. Числовые данные нагрузок принимают по табл. 3.2 согласно второй цифре шифра.

а)
б)

Рис. 3.3. Геометрическая ось балки, опоры и нагрузки

Таблица 3.1

Точки опирания и приложения нагрузок

Цифры шифра	Опоры	Пары сил	Силы	Распределённые нагрузки
	а	б	а	б

а – первая цифра шифра; б – вторая цифра шифра.

Таблица 3.2

Числовые значения внешних нагрузок

Вторая цифра шифра	Моменты пар сил, кН·м	Сосредоточенные силы,кН	Распределённые нагрузки,
		–20		–40		–20
	–11		–19		–11
		–24		–36		–24
	–13		–17		–13
		–28		–32		–28
	–15		–15		–15
		–32		–28		–32
	–17		–13		–17
		–36		–24		–36
	–19		–11		–19

Примечание. Знак “–” при числовых значениях нагрузок означает, что их направления необходимо показывать на схеме балки противоположно тем, которые изображены на рис. 3.1, б. В дальнейших расчётах значения нагрузок следует принимать по модулю, т. е. положительными.

Для данной схемы балки необходимо:

1. Определить реакции для трёх случаев опирания:

а) в шарнирно опёртой балке согласно исходной предпосылке;

б) в консольной балке с жёстким защемлением (глухой заделкой) в т. А при отсутствии опоры в т. В;

в) в шарнирно сочленённой балке с глухой заделкой в т. А, подвижной опорой в т. В и внутренним шарниром в т. С Î(А, В).

2. Построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов для шарнирно опёртой балки.

3. Подобрать размеры поперечных сечений различной формы из условия прочности по нормальным напряжениям при .

4. Провести анализ экономичности принятых видов сечений.

3.3. Пример расчёта и методические указания

3.3.1. Подготовка исходных данных и расчётной схемы балки

Решение задачи начинаем с выбора исходных данных из табл. 3.1 и 3.2. В качестве примера рассмотрим следующие данные.

Длина балки .

Точки опирания и приложения нагрузок: N_A = 3; N_B = 10; = 3;

= 0; = 14; = 0; = 3; = 5; = 8; = 8; = 10.

Числовые значения внешних нагрузок: М = 40 ; = 20 кН;

= –10 кН; = –10 кН/м; = 40 кН/м; = –20 кН/м.

Используя исходные данные, изображаем расчётную схему. Длину балки чертим в масштабе М 1: 50 (в 2 см схемы ­– 1 мдлины балки). Так как табличные значения , и имеют знак “–”, то направляем эти нагрузки вниз (см. примечание к табл. 3.2). Длины участков (а, в, с,…) находим из геометрических соображений. Для рассматриваемого примера расчётная схема балки показана на рис. 3.4.

Рис. 3.4. Расчетная схема шарнирно опёртой балки

3.3.2. Определение реакций в шарнирно-опёртой балке

Показываем опорные реакции и в точках А и В. Так как все активные нагрузки вертикальны, то горизонтальная составляющая в шарнирно-неподвижной опоре А будет заведомо равна нулю и поэтому на рис. 3.2 не показана. Распределённые нагрузки , , заменяем их равнодействующими , , , приложенными в центрах тяжестей прямоугольников (на пересечении диагоналей) и треугольника (на пересечении медиан).

Для определения реакций и составляем два уравнения равновесия балки, предварительно вычислив значения равнодействующих

кН; кН;

кН.

Приравниваем к нулю сумму моментов всех сил относительно т. В:

;

;

, отсюда находим кН.

Приравниваем к нулю сумму моментов всех сил относительно т. А:

;

;

; отсюда находим кН.

Выполняем проверку правильности вычислений реакций, приравнивая к нулю сумму проекций всех сил на ось Y:

; ;

; 92,145 – 92,145 ≡ 0.

В связи с приближённостью вычислений довольно часто тождество не выполняется абсолютно, а возникает некоторая ошибка, допустимость которой оценивают величиной относительной погрешности

,

где и – соответственно сумма положительных и отрицательных слагаемых в уравнении равновесия.

Если погрешность превышает допустимую величину, то необходимо исправить ошибки или увеличить число значащих цифр при вычислениях.

Заменяем способ опирания балки, рассмотренной выше. Вместо шарнирно-неподвижной опоры А вводим глухую заделку, а шарнирно-подвижную опору В отбрасываем. В результате получаем консольную балку, показанную на рис. 3.5.

В заделке возникает вертикальная реакция и реактивный момент . Для их определения также составляем два уравнения равновесия. Приравниваем к нулю сумму проекций всех сил на ось Y:

; ; ,

отсюда находим .

Рис. 3.5. Расчетная схема консольной балки

Приравниваем к нулю сумму моментов всех сил относительно т. А:

;

;

, отсюда находим .

Выполняем проверку, приравнивая к нулю сумму моментов всех сил относительно т. В:

;

;

. Относительная погрешность вычислений

≃0,04 % < 0,2 %.

3.3.4. Определение реакций в шарнирно сочленённой балке

Схему этой балки получаем из предыдущей консольной балки, восстановив шарнирно-подвижную опору в т. В и врезав внутренний шарнир в произвольной т. С, принадлежащей отрезку АВ (рис. 3.6).

В этой схеме опирания балки неизвестными являются реакции , и реактивный момент . Для их определения составляем три уравнения равновесия всей балки или её сочленённых частей.

Приравниваем к нулю сумму моментов относительно т. С всех сил, расположенных справа от шарнира:

; ;

, отсюда находим

кН.

Рис. 3.6. Расчётная схема шарнирно-сочленённой балки

Приравниваем к нулю сумму моментов всех сил относительно т. А:

;

;

, отсюда находим .

Приравниваем к нулю сумму моментов относительно т. С всех сил, расположенных слева от шарнира:

; ;

, отсюда находим

кН.

Проверяем правильность вычислений, приравнивая к нулю сумму проекций всех сил на ось Y:

; ;

; .

Дата добавления: 2015-06-30