Плоский изгиб балок

Плоский изгиб балок является одним из наиболее опасных случаев нагружения деталей машин и элементов сооружений, когда силовая плоскость проходит через одну из главных центральных осей инерции сечения (см. гл. 1). При плоском поперечном изгибе (в дальнейшем просто “изгибе”) в сечении балки возникают два внутренних усилия: поперечная сила и изгибающий момент , расположенные в силовой плоскости YOZ.

Поперечная сила в произвольном сечении балки равна алгебраической сумме проекций на вертикальную ось Y всех внешних нагрузок, расположенных по одну сторону от рассматриваемого сечения, т. е. . Поскольку все нагрузки параллельны оси Y и пары сил не дают проекций на оси, определение поперечной силы можно упростить, полагая, что она равна алгебраической сумме нагрузок (кроме пар сил), расположенных по одну сторону от сечения, т. е.

. (3.1)

При вычислениях используют следующее правило знаков (рис. 3.1):

Рис. 3.1. Правило знаков для поперечной силы

внешняя нагрузка, вращающая отсечённый элемент балки (шарнирно закреплённый в центре тяжести сечения ) по ходу часовой стрелки, создаёт положительную поперечную силу, а против часовой стрелки –отрицательную.

Изгибающий момент в произвольном сечении балки равен алгебраической сумме моментов относительно горизонтальной оси X всех внешних нагрузок, расположенных по одну сторону от рассматриваемого сечения, т. е. . Учитывая расположение нагрузок, определение изгибающего момента можно упростить, полагая, что он равен алгебраической сумме моментов отсечённых нагрузок относительно центра тяжести сечения, т. е.

. (3.2)

При вычислениях используют следующее правило знаков (рис. 3.2):

Рис. 3.2. Правило знаков для изгибающего момента

внешняя нагрузка, искривляющая отсечённый элемент балки (жёстко защемленный в рассматриваемом сечении i–i) выпуклостью вниз, создаёт положительный изгибающий момент, а выпуклостью вверх –отрицательный.

С целью определения наиболее опасных сечений строят эпюры поперечных сил и изгибающих моментов по длине балки. Для проверки правильности построения эпюр используют третий закон Ньютона (действие равно противодействию) и дифференциальные зависимости между внутренними усилиями Q, M и интенсивностью распределённой нагрузки q.

Ньютоновские проверки выполняют для каждой границы между грузовыми участками, где наблюдается изменение характера нагружения, например приложены сила или момент, начинается или заканчивается распределённая нагрузка и др. Эти проверки заключаются в выполнении условий

; , (3.3)

где – разрыв функции I рода (скачок); и – поперечная сила справа и слева от границы k; и – изгибающий момент справа и слева от границы k; – внешняя сосредоточенная сила на k -й границе; – внешний сосредоточенный момент на k -й границе.

Дифференциальные проверки должны выполняться для всех сечений балки. Обычно они записываются в виде

(3.4)

где d – дифференциал; z – абсцисса сечения (аргумент); , , – функции, характеризующие изменение по длине балки распределённой нагрузки, поперечной силы и изгибающего момента.

Полезно помнить, что геометрический смысл первой производной – это тангенс угла наклона касательной к графику функции, а второй производной – кривизна функции в рассматриваемой точке. Угол наклона положителен, если он образован поворотом оси Z против часовой стрелки; кривизна положительна, если имеет выпуклость внизу; распределённая нагрузка положительна, если направлена вверх.

Третий вид проверок – это интегральные зависимости между функциями , и приращениями функций и , которые они получают в пределах каждого грузового участка

(3.5)

Здесь – приращение функции; а, b – абсциссы начала и конца грузового участка.

Полезно помнить, что приращение функции – это число, а интегралы в правой части – это площади, ограниченные графиком функции и осью Z в пределах грузового участка.

При изгибе балки в точках её поперечных сечений появляются два вида напряжений: нормальные и касательные . Нормальные напряжения, играющие решающую роль при разрушении балок, создаются изгибающим моментом и определяются по формуле

где – изгибающий момент в рассматриваемом сечении; – осевой момент инерции относительно главной центральной оси X; y –расстояние от оси X до точки, в которой определяется напряжение; знак

“–” в правой части объясняется тем, что при положительных значениях М и y появляются сжимающие напряжения , которые считаются отрицательными.

Касательные напряжения имеют второстепенное значение при расчётах балок на прочность, так как сравнительно редко являются причиной разрушения. Эти напряжения зависят от поперечной силы и определяются по формуле Д.И. Журавского:

,

где – поперечная сила в рассматриваемом сечении; – статический момент площади сечения, расположенной по одну сторону от исследуемой точки; – осевой момент инерции; b (y) – ширина сечения на расстоянии y от центральной оси X.

С учётом вышесказанного расчёт балок выполняют, исходя из условия прочности по нормальным напряжениям

(3.6)

где – наибольший по модулю изгибающий момент, возникающий в балке; – осевой момент сопротивления поперечного сечения; – допускаемые напряжения при растяжении или сжатии.

При проектировочном расчёте балок на прочность, когда известны внешние нагрузки, типы опор, длина и материал балки, строят эпюру изгибающих моментов и задаются формой поперечного сечения . По эпюре находят , а по форме сечения выражают через характерный размер сечения а. Используя условие прочности, находят параметр а, решив соответствующее кубическое уравнение

Дата добавления: 2015-06-30