Пример решения задачи К 4.4

Алгоритм решения задачи К 4.4

1. Написать условие задачи, изобразить расчетную схему и по­перечное сечение стойки, указать на них необходимые размеры. За­писать исходные данные.

2. Определить геометрические характеристики сечения F, J _min, i _min.

3. Вычислить гибкость стойки по формуле (4.5), определить ко­эффициент j из табл. 7.

4. Вычислить по формуле (4.11).

5. Найти значение Р_кр по формуле Эйлера (4.4) или Ясинского (4.7).

6. Вычислить коэффициент запаса устойчивости по формуле (4.12).

Для сжатой стойки, изготовлен­ной из стали Ст. 3, определить до­пус­каемую силу из расчета на устойчи­вость. При силе, равной допус­каемой, вычислить коэффициент запаса устой­чивости. Схема закреп­ления стойки и ее поперечное сечение, состоящее из двух швеллеров, скрепленных с помо­щью сварки двумя пластинами, пока­заны на рис. 29.

Исходные данные: l = 6,83 м, = 160 МПа, b = 160 мм, d = 8 мм, c = 180 мм, швеллер № 12.

Решение

Так как задано , то определение ведем с использова­нием коэффициента j.

1. Определяем геометрические характеристики сечения F, J _min, i _min.

Изобразим сечение с необходимыми для расчета размерами (рис. 30). Так как сечение имеет две оси симметрии, то эти оси будут главными централь­ными осями инерции. Центр тяжести сечения лежит на пересечении этих осей.

Для определения геометрических характеристик сечения опре­делим не­обходимые геометрические характери­стики составляющих элементов сечения – площади и моменты инерции относи­тельно их центральных осей х и у. Все расчеты ведем в сантиметрах.

Швеллер (1): из таблиц сортамента находим F ₁ = 13,3 см², J _х = 304 см⁴, J _у = 31,2 см⁴, z ₀ = = 1,54 см, h = 12 см, однако, учитывая, что швеллеры на схеме сечения стойки повернуты по сравнению с табличным на 90°, то J _х1 = 31,2 см⁴, J _у1 = 304 см⁴.

Пластина (2): F ₂ = h × b = 16×0,8 = 12,8 см²,

= 273 см⁴,

= 0,683 см⁴.

Площадь сечения см².

Главные центральные моменты инерции сечения определяем по формулам для определения центральных моментов инерции через моменты инерции относительно параллельных им нецентральных осей

,

,

где J_xc, J_уc – центральные (в нашем случае главные центральные) моменты инерции сечения; F_i, J_xi, J_уi – площади и моменты инерции составляющих элементов сечения относительно их центральных осей х и у (но нецентральных для сечения); а_i – расстояние от оси х_с сечения до оси х составляющего элемента; b_i – расстояние от оси у_с сечения до оси у составляющего элемента.

Для швеллеров а ₁ = с /2 – z ₀ = 17/2 – 1,54 =6,96 см, b ₁ = 0.

Для пластин а ₂ = 0, b ₂ = h /2 + d/2 = 12/2 + 0,8/2 =6,4 см.

Тогда

см⁴;

см⁴.

Минимальный момент инерции

см⁴.

Минимальный радиус инерции

см.

2. Определяем гибкость стойки и коэффициент j.

Учитывая, что для заданной схемы закрепления стойки m = 0,7,

.

Коэффициент j берем из табл. 7 для стержней, изготовленных из стали Ст. 3. Ближайшее значение гибкости в таблице l₁ = 80, для неё j ₁ = =0,75 и l₂ = 90, для неё j ₂ = 0,69.

Применяя линейную интерполяцию (формула (4.14)), найдем j для l = 84,5.

.

3. Определяем .

Н = 636 кН.

4. Определяем Р_кр.

Так как l_пред = 100 > l = 84,5 > l₀ = 61, то для определения Р_кр используем формулу Ясинского

Н =

= 1175 кН.

5. Определяем коэффициент запаса устойчивости

.

Дата добавления: 2015-06-30