Необходимые теоретические сведения

Методические указания к решению задач К3.3 и К3.4

Многие детали машин и сооружений нагружены таким образом, что в опасных точках их поперечных сечений возникают одновременно нормальные и касательные напряжения. Такое нагружение называют сложным. Задачи прочности при сложном нагружении решаются с применением основ теорий напряженного и деформированного состояний.

Напряженным состоянием в точке называется совокупность нормальных и касательных напряжений, действующих на всевозможных элементарных площадках, проходящих через эту точку. Напряженное состояние будет полностью определено, если известны напряжения по граням элементарной частицы в виде прямоугольного параллелепипеда, выделенной в окрестности рассматриваемой точки (рис. 11). Нормальные напряжения s имеют индексы, соответствующие наименованию оси, параллельно которой они действуют, s _х, s _у, s _z. Касательные напряжения t имеют два индекса – первый соответствует наименованию оси, перпендикулярной грани, в которой действуют эти напряжения, второй – наименованию оси, параллельно которой они направлены. На невидимых гранях действуют такие же напряжения, как и на видимых, только противоположно направленные.

Правило знаков. Растягивающие нормальные напряжения s считаются положительными, сжимающие – отрицательными. Касательные напряжения t положительны, если они стремятся повернуть элементарную частицу по часовой стрелке относительно оси, индекса которой нет в их обозначении.

Если элементарную частицу произвольным образом вращать относительно рассматриваемой точки, то можно найти такое её положение, когда на её гранях касательные напряжения будут равны нулю. Такие грани-площадки называются главными площадками, действующие на них нормальные напряжения – главными напряжениями, направления, по которым действуют главные напряжения, – главными направлениями. Главные напряжения обозначают s₁, s₂, s₃ в соответствии с соотношением s₁ ³ s₂ ³ s₃, понимаемым в алгебраическом смысле. s₁ = s_max, а s₃ = s_min cреди нормальных напряжений, действующих на гранях исходной частицы при её произвольном положении. Значения главных напряжений используются при определении степени опасности напряженного состояния. В зависимости от конкретного характера внешней нагрузки одно или два главных напряжения в рассматриваемых точках могут равняться нулю.

По количеству главных напряжений, отличных от нуля, различают три вида напряженного состояния: объёмное, плоское и линейное.

Объёмное – все три главных напряжения отличны от нуля. Возникает в местах контактирования деталей или приложения нагрузок.

Плоское – два главных напряжения отличны от нуля. В брусе плоское напряженное состояние возникает при кручении и совместном действии кручения с изгибом или растяжением-сжатием.

Линейное – одно из главных напряжений отлично от нуля. Возникает в брусе при растяжении-сжатии, при чистом изгибе и в опасных точках при поперечном изгибе.

При линейном напряженном состоянии главное напряжение действует в поперечном сечении и определяется по соответствующим формулам сопротивления материалов. Расчеты на прочность при объёмном напряженном состоянии не входят в программу нашего курса. Рассмотрим, как определяются главные напряжения при плоском напряженном состоянии.

В общем случае плоского напряженного состояния главные напряжения, отличные от нуля, определяются по формуле

.

(3.13)

Направление s₁ по отношению к s _х определяется формулой

.*

(3.14)

В литературе известна другая формула, определяющая направление одного из главных напряжений по отношению к s _х

.

(3.15)

Однако применение формулы (3.15) менее удобно из-за того, что заранее не известно, направление какого главного напряжения из двух, отличных от нуля определяется углом a₀.

Примечание. Все значения напряжений в формулы (3.13, 3.14, 3.15) должны подставляться с учетом их знаков.

Так как при плоском напряженном состоянии все напряжения действуют в одной плоскости, то можно изображать только одну проекцию исходной частицы, так как показано на рис. 12. Здесь s _х – положительно, s _у и t _ху – отрицательны.

Рис. 12

При совместном кручении и изгибе бруса или кручении с растяжением-сжатием в опасных точках бруса всегда возникает частный случай плоского напряженного состояния, схема которого изображена на рис. 13.

Рис. 13

* Формула введена автором

Здесь s и t – напряжения определенные в опасной точке поперечного сечения по формулам сопротивления материалов. Такое напряженное состояние называется упрощенным плоским. В этом случае формулы (3.13, 3.14) значительно упрощаются

.

(3.13а)

.*

(3.14а)

Примечание. Формула (3.14а) дает угол между направлением s и направлением s₁, для этого в формулу подставляют t со знаком, который оно имеет в площадке, где действует s.

Очевидно, что для каждой новой комбинации нормальных и касательных напряжений будут новые сочетания главных напряжений. Получение опытным путем предельных напряжений для каждого их сочетания практически невозможно. В связи с этим оценка прочности не может быть выполнена сравнением расчетных значений главных напряжений с их предельными значениями, поэтому при записи условия прочности конкретное плоское (или объемное) напряженное состояние заменяется эквивалентным ему по степени опасности напряжением, при простом растяжении (s _экв). s _экв определяется расчетным путем по известным значениям главных напряжений на основе обоснованного критерия теории наступления предельного состояния.

В настоящее время в инженерных расчетах используется в основном пять различных теорий прочности: 1-я и 2-я теории применяются для расчета деталей, изготовленных из хрупких материалов (чугун, стекло, бетон, кирпич и т.д.); 3-я и 4-я – для расчета деталей, изготовленных из пластичных материалов (сталь, цветные металлы и т.д.); 5-я теория – универсальная, может применяться для расчета деталей как из хрупких, так и из пластичных материалов. Для нас наибольший интерес представляет 3-я теория прочности (теория наибольших касательных напряжений) и 4-я (теория октаэдрических касательных напряжений), в соответствии с которыми

* Формула введена автором

.	(3.16)
.	(3.17)

Для упрощенного плоского напряженного состояния s _экв можно выразить через напряжения в поперечном сечении.

.	(3.18)
.	(3.19)

Для бруса круглого (сплошного и кольцевого) поперечного сечения при совместном действии кручения и изгиба s _экв в опасной точке можно выразить ещё проще

.

(3.20)

.

(3.21)

Условия прочности при использовании любой теории прочности выражаются зависимостью

,

(3.22)

где [s] – допускаемое напряжение при растяжении.

При необходимости определения максимальных касательных напряжений их определяют по формуле

,

(3.23)

справедливой для любого вида напряженного состояния.

Деформированным состоянием в точке называется совокупность линейных и угловых деформаций, возникающих во всевозможных площадках, проходящих через точку. Напряженное и деформированное состояния имеют полную смысловую и математическую аналогию. Аналогом нормальных напряжений s являются относительные линейные деформации e, аналогом касательных напряжений являются угловые деформации g. По главным направлениям действуют главные деформации e₁, e₂, e₃. Любая формула для деформированного состояния может быть получена из аналогичной формулы для напряженного состояния, если в ней компоненты тензора напряжений заменить компонентами тензора деформаций.

Напряжения и деформации характеризуют один и тот же процесс – процесс деформирования твердого тела приложенными к нему нагрузками – напряжения с силовой стороны, деформации с геометрической. В связи с этим между ними существует зависимость, которая называется обобщенным законом Гука. Приведем математическое выражение закона Гука, связывающее главные напряжения и главные деформации при плоском напряженном состоянии для случая, когда s₂ = 0:

(3.24)

Здесь Е – модуль упругости, m – коэффициент поперечной деформации (коэффициент Пуассона).

Дата добавления: 2015-06-30