Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Решение. Пример расчета (задача № 13)




Пример расчета (задача № 13)

Дан пространственный консольный брус с ломаным очертани­ем осевой линии, нагруженный сосредоточенной силой Р = 1 кН и равномерно распределенной нагрузкой q = 2 кН/м. На рис. 5.34, а этот брус показан в аксонометрии в соответствии с прямоугольной системой координат xyz. Вертикальный элемент бруса имеет попе­речное сечение в виде круга диаметром d = 0,06 м (рис. 5.34, в), горизонтальные элементы бруса имеют поперечные сечения в виде прямоугольника (рис. 5.34, б). Ширина сечения b = d = 0,06 м, а высота сечения c = 0,5 d = 0,03 м. Ориентация главных осей попе­речных сечений на каждом участке показана на рис. 5.34, г.

Требуется:

1. Построить в аксонометрии эпюры Mx, My, Mz, Nz, Qx, Qy;

2. Указать вид сопротивления для каждого участка бруса;

3. Определить максимальные напряжения в опасном сечении каждого участка от внутренних усилий Nz, Mx, My и Mz (касатель­ными напряжениями от Qx и Qy можно пренебречь);

4. Проверить прочность при расчетном сопротивлении R = = 180 МПа.

1. Построить в аксонометрии эпюры Mx, My, Mz, Nz, Qx, Qy. Заметим, что так как заданная система пространственная, при произвольном характере нагружения, в опорном сечении, где установлена заделка, возникает шесть опорных реакций (три опор­ные силы и три момента). Для определения опорных реакций, в данном случае, можем применить шесть уравнений равновесия ста­тики. Так как число независимых уравнений равновесия равно чис­лу опорных реакций, то можно сделать вывод, что рассматриваемая система в виде ломаного бруса, с заделанным одним концом, явля­ется статически определимой. Поэтому рассматриваемая система разрешима по методу сечений. Далее, учитывая особенности конст­рукции, определение величин внутренних усилий можно осущест­вить без предварительного вычисления величин опорных реакций.

 

 

Брус имеет три участка АВ, ВС и СD (рис. 5.34, г). При этом, после рассечения бруса на две части будем рассматривать равно­весие оставшейся части, не связанной с заделкой (чтобы избежать предварительного определения опорных реакций в заделке бруса). Внутренние силовые факторы можно рассматривать как реакции, действующие в сечении на оставшуюся часть со стороны отбро­шенной части, поэтому процесс определения шести величин Mx, My, Mz, Nz, Qx, Qy может быть сведен к известному процессу оп­ределения опорных реакций.

Следует отметить, что при определении опорных реакций их направление можно указать произвольно, а затем из решения урав­нения равновесия будет ясно, как в действительности действует ре­акция: если результат положительный, то реакция действует имен­но так, как мы предварительно указали, если отрицательный - то наоборот.

При построении эпюр будем руководствоваться следующими правилами:

- нормальная сила Nz считается положительной, если она вызы­вает растяжение бруса;

- крутящий момент Mz считается положительным, если при взгляде на сечение со стороны внешней нормали он виден враща­ющим брус по ходу часовой стрелки;

- поперечная сила Qx считается положительной, если при взгляде со стороны положительного направления оси y она стре­мится вращать оставшуюся часть бруса по ходу часовой стрелки от­носительно ближайшей точки на оси бруса (для поперечной силы Qy - то же, по отношению к x);

- ординаты эпюр Qx и Qy следует откладывать перпендикуляр­но оси бруса в плоскости действия этих сил и указывать знак;

- ординаты эпюр Мx и Мy будем откладывать перпендикулярно оси бруса со стороны растянутого волокна.

Участок АВ (0 £ z 1 £ a ).

Оставшаяся часть изображена на рис. 5.34, д. В центре сечения помещаем систему координат. Оси x и y совпадают с направлением главных осей инерции сечения, показанных на рис. 5.34, г. Коор­дината z 1 увеличивается от точки А к точке В. Для определения N покажем ее в направлении от сечения, т.е. растягивающей, и соста­вим уравнения равновесия: S z = 0; Nz = 0. Из å Мx = 0 следует Мx = 0 (рис. 5.35, а).

Для определения Мz покажем его так, чтобы при взгляде на сечение он был виден вращающим брус по часовой стрелке, и составим уравнения равновесия (рис. 5.35,б):

S mz = 0; Мz = 0.

Для определения Qx и Qy покажем их положительными в соот­ветствии с выбранным правилом знаков и составим уравнения рав­новесия:

S x = 0, Qx - P = 0, Qx = P = 1 кН;

S y = 0, Qy = 0.

Эпюра Qx представляет собой прямоугольник (рис. 5.35, в) с ординатой, равной 1, лежащей в плоскости действия этого силово­го фактора. Составляем уравнение равновесия:

S My = 0, Мy + Р × z = 0, Мy = - P × z.

Ординаты эпюры My линейно зависят от z:

z = 0, My = 0; z = a, My = - P × a = -1×0,3 = -0,3 кН×м.

Знак минус указывает на то, что в действительности изгибаю­щий момент My вызывает растягивающее напряжение в правой части поперечного сечения, поэтому ординаты эпюры My отклады­ваются в правую сторону.

Участок ВC (0 £ z 2 £ b ).

Оставшаяся часть изображена на рис. 5.34, e. В центре сечения помещаем систему координат. Оси x и y совпадают с направлением главных осей инерции сечения, показанных на рис. 5.34, г. Коор­дината z 2 увеличивается от точки В к точке С. Процесс опреде­ления внутренних силовых факторов на этом участке такой же, как и на предыдущем. Важно отметить, что на оставшейся части соот­ветствующий внутренний силовой фактор удобно показывать непо­средственно перед его определением - для того, чтобы не затем­нить чертеж. При этом Nz, Mz, Qx, Qy показывают в положи­тельном направлении в соответствии с принятым правилом знаков, а изгибающие моменты Mx и My - наугад из двух возможных направлений (рис. 5.34, e):

S z = 0, Nz = 0; S Mz = 0, Mz + P × a = 0, Mz = - P × a = -0,3 кН×м.

Плоскость прямоугольной эпюры произвольна (рис. 5.35, б).

S x = 0, Qx - P = 0, Qx = P = 1 кН.

Эпюра Qx в виде прямоугольника показана на рис. 5.35, в.

S y = 0, Qy - q z = 0; Qy = q z;

z = 0, Qy = 0; z = 0,6 м, Qy = 2×0,6 = 1,2 кН.

Эпюра Qy в виде треугольника показана на рис. 5.35 е.

Рис. 5.35

Ординаты Mx изменяются по закону квадратной параболы.

z = 0, Mx = 0; z = 0,6 м, Mx = -0,36 кН×м;

= 2 z = 0; z = 0- точка экстремума в эпюре Mx в сечении z = 0.

Знак минус указывает, что растягивающие напряжения возни­кают не в ближней части сечения, а в дальней. При этом наблюда­тель ориентирован относительно глобальной системы координат xy, показанной на рис. 5.34, а следующим образом: ось x направле­на к наблюдателю, поэтому ординаты Mx откладываем в дальнюю сторону (рис. 5.35, а).

S My = 0, My + P z = 0, My = - P z;

z = 0, My = 0; z = 0,6 м, My = -0,6 кН×м.

Эпюра My - треугольная. Растягивающие напряжения возника­ют в правой части сечения - ординаты откладываем вправо.

Участок CD (0 £ z 3 £ c 1).

Оставшаяся часть изображена на рис. 5.34, ж. В центре сечения помещаем систему координат. Оси x и y совпадают с направлением главных осей инерции сечения, показанных на рис. 5.34, г. Коор­динаты z 3 увеличиваются от точки С к точке D. Повторяя все рас­суждения, проведенные на предыдущих участках, будем иметь следующее (рис. 5.34, д):

S z = 0, N - P = 0, N = P = 1 кН;

S Mz = 0, кН×м.

Эпюра Mz - в виде прямоугольника. Плоскость изображения произвольная:

S x = 0, Qx + q b 1 = 0, Qx = - q b 1 = -2×0,6=-1,2 кН.

Эпюра Qx - в виде прямоугольника в плоскости действия Qx.

S y = 0, Qy = 0;S Mx = 0, Mx + P b 1 = 0, Mx = - P b 1 = -0,6 кН×м.

Эпюра Mx - в виде прямоугольника. Растягивающие напряже­ния при изгибе возникают в нижней части поперечного сечения -ординаты эпюры откладываем вниз.

S My = 0, My + P a - q b 1 z 3 = 0, My = q b 1 z 3 - P a = 1,2 z 3 - 0,3.

Величина My определяется как линейная функция от z 3. При z 3 = 0; My = -0,3 кН×м. В этом сечении растягивающие напряжения возникают не в дальней части сечений, а в ближней - ординату откладываем к наблюдателю.

При z 3 = 0,5м My = 1,2×0,5 - 0,3 = 0,6-0,3 = 0,3 кН×м.

В этом сечении My откладываем от наблюдателя (рис. 5.35, г).

2. Установить вид сопротивления для каждого участка бруса. По эпюрам устанавливаем вид сопротивления на каждом участке бруса. На участке АВ возникают изгибающий момент My и поперечная сила Qx, что свидетельствует о наличии поперечного изгиба. На участке ВС возникают изгибающие момен­ты Mx, My, поперечные силы Qx, Qy и крутящий момент Mx, что свидетельствует о наличии косого изгиба и кручения. На участке СD действуют изгибающие моменты Mx и My, поперечная сила Qx, растягивающая сила N и крутящий момент Mz, что свиде­тельствует о наличии косого изгиба с растяжением и кручением.

3. Определить максимальные напряжения в опасном сечении каждого участка от внутренних усилий N, Mx, My и Mz (касательными напряжениями от Qx и Qy можно пренебречь). Участок АВ. Наибольшая величина изгибающего момента My, судя по эпюре (рис. 5.35, г) возникает в сечении, бесконечно близком к точке В. Максимальные нормаль­ные напряжения при изгибе определяются по формуле:

16,7×103 кН/м2,

где момент сопротивления Wy = =1,8×10-5 м3.

Участок ВС. По эпюрам Mx и My устанавливаем, что опасным является сечение, бесконечно близкое к точке С. Для круглого сечения суммарный изгибающий момент:

кН×м,

а наибольшие нормальные напряжения равны:

кН/м2=33,32 МПа,

где момент сопротивления круглого сечения при изгибе:

м3 .

При кручении круглого сечения возникают касательные на­пряжения, максимальные значения которых определяются по фор­муле:

,

где Wp - момент сопротивления при кручении. Известно, что

Wp = 2 WИ = 2×2,1×105 м3 = 4,2×105 м3,

тогда

кПа=7,143 МПа.

Участок СD. По эпюрам Mx и My видим, что равными по опасности будут сечения, бесконечно близкие к точкам С и D. При действии растягивающей силы N во всех точках поперечного сече­ния возникают одинаковые нормальные напряжения:

кН/м2 = 0,555 МПа,

где F = b × c = 0,06×0,03=0,0018 м2 - площадь поперечного сечения;

66666 кН/м2 = 66,67 МПа,

где

м3.

При действии изгибающего момента My наибольшие нормаль­ные напряжения будут равны:

кН/м2 = 16,67 МПа.

При кручении бруса прямоугольного сечения возникают каса­тельные напряжения, максимальные значения которых определятся по формуле:

кН/м2 = 27,07 МПа,

где WK = b× c 3 = 0,493×0,033 = 13,3×10-6 м3 - геометрическая величи­на, играющая роль момента сопротивления при кручении стержней прямоугольного сечения. Здесь b - коэффициент, зависящий от от­ношения большей стороны прямоугольника к меньшей (в данном случае при b / c = 2, b = 0,493).

4. Проверка прочности при расчетным сопротивле­нии R = 180 МПа. Расчетное напряжение по третьей теории прочности для плоского напряженного состояния определяется по формуле:

.

Участок АВ. Линейное напряженное состояние является част­ным случаем плоского (t = 0), поэтому в нашем случае:

, где R = 180 МПа.

Участок ВС. Проверка прочности по третьей теории:

36,25 МПа < 180 МПа.

Участок СD. Сначала найдем максимальное нормальное напря­жение от внутренних силовых факторов N, Mx и My:

МПа.

Касательные напряжения в угловой точке от кручения равны 0. Имеет место линейное напряженное состояние:

МПа < 180 МПа.

Далее рассмотрим напряженное состояние в окрестности точки, где действует максимальное касательное напряжение t = 27,7 МПа. Имеет место плоское напряженное состояние:

МПа;

МПа < 180 МПа.

Следовательно, так как условие обеспечения прочности во всех опасных точках участков ломанного бруса выполняются, то проч­ность конструкции в целом следует считать обеспеченной.

 

6. РАСЧЕТ СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫХ
СИСТЕМ МЕТОДОМ СИЛ

6.1. Стержневые системы.
Степень статической неопределимости

Под стержневой системой понимается всякая конструк­ция, состоящая из элементов, имеющих форму бруса. Если эле­менты конструкции работают только на растяжение или сжатие си­стема называется фермой (рис. 6.1). Ферма состоит из шарнирно опертых между собой прямых стержней, образующих треугольники и для нее характерно приложение внешних сил в узлах заданной системы.

Если элементы стержней системы работают в основном на изгиб или кручение, то такая система называется рамой (рис. 6.2).

Если все элементы стержневой системы расположены в одной плоскости, в которой также действуют все внешние силы, включая реакции опор, то система называется плоской (рис. 6.1, 6.2).

Если все элементы заданной системы расположены в одной плоскости, а внешние силы действуют в перпендикулярной плос­кости, то система называется плоскопространственной (рис. 6.3). Стержневые системы, не относящиеся к двум указанным категориям, называются пространственными (рис. 6.4).

Все стержневые системы принято разделять на статически определимые и статически неопределимые. Под статически определимой понимается такая система, для которой усилия во всех ее элементах могут быть определены по методу сечений с применением лишь урав­нений равновесия. Если этого сделать нельзя, то такая система на­зывается статически неопределимой.

Разность между числом неизвестных усилий (реакций опор и внутренних силовых факторов) и числом независимых уравнений равновесий, которые могут быть составлены для рассматриваемой сис­темы, называется степенью статической неопредели­мости системы.

Связи, наложенные на систему, бывают внешними и внутрен­ними. Под внешними понимают ограничения, накладываемые на абсолютные перемещения точек системы, как единое целое. Внутренние же связи ограничивают взаимные (относительные) перемещения элементов системы. Следовательно, статическая неопределимость системы мо­жет быть вызвана как внешними, так и внутренними связями.

Если рассматривать внешние связи, то можно отметить, что по­ложение жесткого тела на плоскости x,y характеризуется тремя незави­симыми параметрами - координатами x, y и углом поворота рассматриваемой плоскости. Таким образом, необходимое для равновесия число наложен­ных внешних связей должно быть равно трем (по количеству уравнений равновесия - å x = 0, å y = 0, å m = 0). Если плоская система состоит из D частей, каждую из которых можно рассмат­ривать как жесткое тело, то количество параметров, определяющих положение этой системы будет равно 3 D. Каждый шарнир, соеди­няющий две части системы, разрешает лишь их взаимный поворот, устраняя возможность их взаимных смещений - следовательно он уменьшает количество возможных перемещений системы на две единицы. Кроме этого, каждый опорный стержень устраняет воз­можность перемещения системы в соответствующем направлении. Таким образом, подсчитать степень статической неопределимости системы, определяемую внешними связями, можно по следующей формуле:

W = 3 D - 2 Ш - С,

где D - число частей (“дисков”) системы, каждая из которых может рассматриваться как абсолютно жесткое тело, Ш - количество шар­ниров в системе, соединяющих “диски”, С - число опорных стерж­ней. Для статически определимых систем W =0. При W<0 система является статически неопределимой.

Наиболее характерные типы внешних связей и их схематичные изображения рассмотрены в п. 5.1.

На рис. 6.5 показана плоская рама, имеющая в первом (а) случае три внешние связи, а во втором случае (б) - пять. Значит, в первом случае рама имеет необходимое для статической определи­мости количество внешних связей, а во втором же - две дополни­тельные внешние связи. Однако в обеих ситуациях рама статически неопределима, т.к. конфигурация ее такова, что не позволяет опре­делить усилия во всех ее элементах, используя только уравнения равновесия. Следовательно, для окончательного ответа на вопрос о статической определимости системы необходимо проведение сов­местного анализа наложенных на систему внешних и внутренних связей (более подробно этот вопрос рассматривается в курсе строи­тельной механики).

Рис. 6.5

Методы расчета статически неопределимых систем основаны на определении перемещений в ее точках. Выше мы рассматривали метод начальных параметров для вычисления перемещений в бал­ках. При всех достоинствах этого метода он обладает одним суще­ственным недостатком - при большом количестве участков вычис­лительные формулы становятся весьма громоздкими. Особенно это существенно в случае криволинейной оси стержневой системы.

В связи с этим, рассмотрим более универсальный метод опре­деления перемещений - метод Мора, названный так по имени немецкого ученого, предложившего его.




Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2015-06-30; Просмотров: 1024; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.008 сек.