Решение. Решим систему (6) матричным методом

Пример

Решим систему (6) матричным методом. Обратная матрица для этой системы уже найдена (уравнение (17)). Поэтому сразу найдем .

Ответ: .

ЗАДАНИЕ 2

При выполнении второго задания контрольной работы необходимы следующие понятия векторной алгебры.

Вектором называется направленный отрезок. Вектор , заданный координатами начала и конца имеет проекции, равные разностям координат его конца и начала:

Его длина (модуль) определяется по формуле .

Проекция одного вектора на направление другого равна скалярному произведению этих векторов, деленному на модуль второго вектора:

В координатной форме формула выглядит следующим образом:

.

Угол a между положительными направлениями векторов и находится по формуле:

,

Значение можно не искать в таблицах, а дать ответ в виде:

,

Площадь треугольника АВС вычисляется при помощи векторного произведения по формуле:

,

где – векторное произведение.

Пусть и . Найдем их векторное произведение по формуле:

Вычислим длину вектора и возьмем ее половину, которая и будет численно равна искомой площади.

Объем пирамиды вычисляется как одна шестая абсолютной величины смешанного произведения трех векторов, на которых построена пирамида.

Пусть , , . Следует обратить внимание, что все три вектора и здесь выходят из одной точки А.

Их смешанное произведение равно:

.

Объем пирамиды будет равен одной шестой абсолютной величины произведения векторов:

.

Пример. Даны координаты вершин пирамиды , , , и . Надо средствами векторной алгебры найти: 1) длину ребра 2) проекцию на ; 3) угол между ребрами и ; 4) площадь грани ; 5) объем пирамиды . Сделать чертёж.

Решение: Сначала выполним чёртёж.

1) Найдем координаты вектора

, тогда длина ребра равна .

2) Найдем координаты векторов и .

; .

Вычислим проекцию на :

.

3) Найдем . Для этого вычислим координаты вектора (координатывектора были получены ранее):

, ,

,

4) Для вычисления площади грани возьмем любые два вектора, которые образуют эту грань, например и . Координаты вектора

.

Найдем векторное произведение

ед².

5). Координаты векторов , и найдены выше. Вычислим их смешанное произведение:

Объем пирамиды равен ед³.

ЗАДАНИЕ 3

Для выполнения третьего задания рассмотрим линии первого порядка – уравнение прямой в общем виде.

Уравнение прямой, проходящей через сторону АВ треугольника АВС, найдем как уравнение прямой, проходящей через две точки и :

.

Аналогично найдем уравнения сторон и .

Чтобы написать уравнение медианы , вспомним, что точка делит сторону пополам. Найдем координаты точки . Если , , и , то

, .

Теперь осталось только записать уравнение прямой , проходящей через две точки и .

Высота перпендикулярна стороне . Через проведем прямую с угловым коэффициентом :

. (19)

Так как , то из условия перпендикулярности двух прямых имеем

. (20)

Запишем уравнение стороны в виде с угловым коэффициентом

.

Из этого уравнения определим , а из (20) найдем . Зная угловой коэффициент прямой из (19) получим уравнение перпендикуляра .

Длину высоты найдем как расстояние от точки до прямой по формуле:

,

где – уравнение стороны .

Чтобы найти внутренние углы треугольника нужно угловые коэффициенты сторон выписать в порядке убывания: , затем вычислить тангенсы углов по формулам:

, , .

Пример. Даны координаты вершин треугольника: . Требуется найти: 1) уравнение сторон треугольника; 2) уравнение медианы ; 3) длину и уравнение высоты ; 4) внутренние углы треугольника .

Решение:

1) Найдем уравнение стороны : . Запишем уравнение в общем виде: .

Найдем уравнение : или .

Найдем уравнение : ; т. е. .

2) Найдем координаты точки :

; ; .

Запишем уравнение :

, или .

3) Найдем длину высоты АК

.

Придадим уравнению прямой ВС форму уравнения с угловым коэффициентом , откуда .

Угловой коэффициентом прямой АК равен .

Уравнение (АК): ;

; .

Рис. 1. Чертеж к заданию 3.

4) Запишем уравнения сторон треугольника в виде уравнений прямых с угловыми коэффициентом:

(АС): , .

(АВ): , .

(ВС): , .

, .

, .

, .

Задание 4

Окружностью называется геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от данной точки, называемой центром. Расстояние от точек окружности до центра называется радиусом.

Уравнением окружности радиуса R с центром в начале координат является выражение

.

Если центр окружности находится не в начале координат, а в произвольной точке , то ее уравнение имеет вид

. (21)

Раскрывая скобки в (21) получим

. (22)

Чтобы от уравнения (22) перейти к (21) нужно применить метод выделения полного квадрата. Рассмотрим алгоритм этих преобразований.

Дана окружность .

.

.

.

,

где .

Получили уравнение окружности с центром в т. и радиусом R в системе координат .

Обозначая , а будем иметь уравнение окружности в новой системе координат

.

Центр ее находится в т. , радиус равен R.

Пример. Дано уравнение окружности . Методом выделения полного квадрата привести его к виду . Путем параллельного переноса системы координат привести последнее уравнение к виду . Построить обе системы координат, найти в каждой из них центр окружности. Сделать чертеж.

Решение. .

.

.

.

Центр окружности находится в т. , радиус равен 10. Введем новые переменные и , тогда в новой системе координат окружность примет вид . Центр ее совпадает с началом координат.

Рис. 2. Чертеж к заданию 4.

Задание 5

В этом задании рассматриваются вопросы аналитической геометрии в пространстве.

1) Уравнение плоскости, проходящей через три данные точки ; ; находятся по формуле

.

Ответ нужно представить в общем виде уравнения плоскости

.

2) Для отыскания угла между прямой и плоскостью нужно:

а) написать уравнение прямой, проходящей через две данные точки: и , по формуле:

. (23)

Направляющий вектор этой прямой имеет координаты

.

б) угол между прямой и плоскостью в пространстве находится по формуле:

;

,

где - координаты нормального вектора берутся из общего уравнения плоскости , как коэффициенты перед и соответствено.

3) Уравнение прямой, проходящей через две точки, было приведено ранее (23).

4) Для того, чтобы найти уравнения высоты пирамиды, опущенной из точки на грань , удобно воспользоваться каноническими уравнениями прямой в пространстве

,

где – координаты точки, лежащей на прямой. В данном случае нам известны координаты точки . Проекции направляющего вектора найдем из условия перпендикулярности прямой и плоскости. Так как вектор нормали к плоскости и направляющий вектор прямой параллельны, то в качестве направляющего вектора можно взять вектор , т.е. .

5) Основанием высоты является точка пересечения прямой, проходящей через высоту, с плоскостью основания . Для нахождения этой точки пересечения решим систему уравнений:

Эту систему удобно решать, если перейти к уравнению прямой в параметрическом виде

(*)

Подставим выраженные переменные через из (*) в уравнение плоскости

.

Отсюда найдем параметр t, подставим его в уравнение прямой и получим координаты искомой точки пересечения прямой с плоскостью.

Пример. В пирамиде из задания 2 найти: 1) уравнение плоскости АВС; 2) угол между ребром AD и гранью АВС; 3) уравнение прямой АВ; 4) уравнение высоты, опущенной из вершины D на грань АВС; 5) основание этой высоты.

1) уравнение плоскости выразим через определитель

.

Решив его, получим уравнение грани (АВС) . Отсюда находим вектор нормали . (24)

2) Для вычисления угла между ребром и гранью АВС запишем сначала каноническое уравнение ребра

.

Уравнение прямой : .

Координаты направляющего вектора вдоль . Координаты нормали найдены выше (24).

.

.

3) Уравнение прямой :

.

После упрощения имеем - .

Координаты направляющего вектора вдоль - .

4) Найдем уравнение высоты, опущенной из вершины на грань АВС, уравнение которой получено ранее в (24).

Так как , то возьмем вектор , тогда уравнение высоты .

5) Решив систему уравнений

,

найдем точку К, которая будет являться основанием высоты, опущенной из вершины D на грань АВС.

Для этого запишем уравнение прямой в параметрическом виде

, . (25)

Подставим в уравнение плоскости вместо переменных x, y, z их выражения через параметр :

,

, . (26)

Теперь из (25) найдем x, y, z.

, т. К {-5; -3; 2}.

ЗАДАНИЕ 6

В данном задании требуется вычислить пределы, не пользуясь правилом Лопиталя. Для этого рассмотрим некоторые теоретические сведения.

Если функция в окрестности точки определена и непрерывна, то ее предел можно вычислить по формуле:

Поэтому при вычислении пределов надо вначале убедиться, является ли функция непрерывной, или она разрывная в окрестности точки путем прямой подстановки в выражение функции . Если не существует при , то тогда следует находить предел . Для этого применяют специальные приемы.

Разрывные функции часто имеют неопределенные значения в точке разрыва . Неопределенности бывают следующих типов 1) 2) 3) 4) 5) . Это – символическое обозначение неопределенностей. Если функция имеет вид дроби , у которой при числитель и знаменатель одновременно обращаются в ноль, т. е. и , то такая неопределенность обозначается . Если же при имеем и одновременно, то неопределенность обозначается . Функция может иметь вид произведения . Если при этом и при , то такую неопределенность обозначают . Возможен случай, когда функция имеет вид разности , причем при и одновременно. Здесь возникает неопределенность типа . Еще может быть вариант, когда функция имеет вид и , а при . Такая неопределенность обозначается . Для раскрытия подобных неопределенностей применяются специальные преобразования, которые допустимы правилами математики. После этого получаем выражения без неопределенностей и можно будет вычислить предел.

Для случая, когда имеет вид рациональной дроби и , имеем неопределенность типа , для вычисления которой надо числитель и знаменатель дроби поделить на старшую степень знаменателя.

Пример для задания а): . Имеем неопределенность вида . Чтобы раскрыть эту неопределенность разделим числитель и знаменатель на .Получим . Так как при , то имеем .

Во втором примере функция имеет вид дроби , у которой числителем и знаменателем являются рациональные выражения, которые содержат только целые положительные степени переменной . Если при числитель и знаменатель , то и нацело (без остатка) делятся на разность (). Это деление осуществляется углом.

Пример для задания б): . Так при имеем и , то

Дата добавления: 2015-06-30