Изменение порядка интегрирования в двойном интеграле

Пример 16. Изменить порядок интегрирования в двойном интеграле .

Решение. Вычисление этого интеграла производится повторным интегрированием: сначала вычисляется интеграл , а затем получившаяся функция интегрируется по переменной х на отрезке [1;3].

Для изменения порядка интегрирования необходимо сначала начертить область интегрирования D, которая ограничена линиями х =1, х =3, y=–x, y= –x. Уравнения линий берутся в соответствии с пределами интегрирования. На рисунке область D – это трапеция ABFK. Координаты точек A,B,F,K находим, решая соответствующие системы уравнений. Таким образом, получили A(1;1), B(3;3), F(3,–3), K(1;–1).

При изменении порядка интегрирования первое интегрирование теперь проводится по переменной y, а второе – по переменной x. В этом случае при задании области D переменная y изменяется от –3 до 3, а переменная x от линии FKAB до линии FB. Если прямая FB задается одним уравнением х =3, то ломаная FKAB – тремя: y= –x, х =1, y=x. Таким образом, область интегрирования D имеет смысл представить как объединение трех областей, каждая из которых задается своей системой неравенств:

FKE:

KACE:

ACB: .

Исходный двойной интеграл после замены порядка интегрирования записывается в виде суммы трех двойных интегралов:

.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ПЕРВОГО И ВТОРОГО ПОРЯДКОВ

Основные определения

Дата добавления: 2015-06-30