Второго порядка с постоянными коэффициентами

Линейные неоднородные дифференциальные уравнения

Линейные неоднородным дифференциальным уравнением второго порядка называется уравнение вида

(12)

где Если , то уравнение называется однородным.

Общее решение неоднородного уравнения представляет собой сумму частного решения неоднородного линейного уравнения и общего решения соответствующего однородного уравнения

,

где общее решение неоднородного уравнения; его частное решение; общее решение соответствующего однородного уравнения.

Рассмотрим однородное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами:

. (13)

Его характеристическое уравнение может иметь

1) два различных действительных корня

2) действительный кратный корень кратности два

3) два комплексно-сопряженных корня

В зависимости от вида корней, в первом случае частным решением однородного уравнения будут функции и а общее решение запишется в виде

Во втором случае (действительный корень кратности 2) частными линейно-независимыми решениями однородного уравнения будут функции и а общее решение запишется как

В случае комплексных корней ():

П р и м е р. Найти общее решение уравнения

Решение. Характеристическое уравнение имеет корни Корни комплексные, комплексно-сопряженные, причем Следовательно, общее решение имеет вид

П р и м е р. Найти общее решение уравнения

Решение. Характеристическое уравнение

имеет два различных действительных корня Следовательно,

П р и м е р. Найти общее решение уравнения

Решение. Характеристическое уравнение запишем в виде Отсюда следует, что оно имеет один действительный корень кратности 2: и общее решение уравнения запишется как

Если в уравнении (12) с постоянными коэффициентами функция имеет вид

(14)

то это уравнение называется неоднородным со специальной правой частью.

Здесь и – многочлены порядка n и m соответственно. Частное решение неоднородного уравнения ищется точно в таком же виде:

но функции и – это многочлены с неопределенными коэффициентами порядка и, следовательно, содержат все степени x не меньше чем l.

Кроме того, показатель степени r называемый кратностью, равен количеству корней характеристического уравнения, совпадающих с числом

П р и м е р. Найти общее решение неоднородного уравнения .

Решение. Рассмотрим однородное уравнение

Его характеристическое уравнение имеет корни

Общее решение однородного уравнения будет иметь вид:

Так как то

Кратность в силу того что . Для определения коэффициентов и подставим частное решение в исходное уравнение:

Равенство можно преобразовать к виду

Так как мы требуем, чтобы функция была решением уравнения, то равенство должно выполняться тождественно. Следовательно, коэффициенты при одинаковых функциях в левой и правой частях равенства должны быть равны:

Решая систему уравнений, определим коэффициенты . Следовательно, частное решение неоднородного уравнения и общее решение неоднородного уравнения будут иметь вид:

П р и м е р. Найти частное решение неоднородного

уравнения удовлетворяющее начальным условиям

Решение. Найдем общее решение уравнения . Характеристическое уравнение соответствующего однородного уравнения имеет корни и общее решение однородного уравнения имеет вид

Частное решение неоднородного уравнения ищем в форме

( так как характеристическое уравнение имеет корень совпадающий с числом ).

Коэффициенты определим, подставляя решение в исходное уравнение:

Приравнивая коэффициенты при одинаковых функциях в левой и правой частях тождества, получим систему уравнений для определения

Решая ее, найдем .

Общее решение неоднородного уравнения будет иметь вид

Чтобы определить частное решение, удовлетворяющее начальным условиям (решить задачу Коши), найдем производную общего решения неоднородного уравнения

Подставляя в найденное решение и его производную начальные условия, получим систему уравнений для определения коэффициентов и

Решая ее, определим :

Следовательно, искомое частное решение запишется в виде

Дата добавления: 2015-06-30