Однородные дифференциальные уравнения первого порядка

Делим обе части уравнения на.

Переменные разделены. Интегрируем обе части уравнения

; ,

– общее решение.

При делении на могли быть потеряны решения и у –1 =0. Очевидно, у =1 – решение уравнения, а – нет.

П р и м е р. Найти частное решение уравнения

, удовлетворяющее начальному условию у (0) = 1.

Найдем общее решение уравнения . Приводим уравнение к виду (4): , . Разделяем переменные в уравнении ( ):

Интегрируем, используя метод разложения на простейшие дроби:

– общее решение.

Проверяем функции и . Они также будут являться решением исходного уравнения.

Подставим начальное условие у (0) = 1: , . – частное решение.

Однородные дифференциальные уравнения первого порядка имеют вид

(6)

Функция , зависящая только от отношения переменных, называется функцией нулевой степени.

Вообще, функция называется однородной степени , если для любых и и выполняется равенство

Уравнение вида (6) приводится к уравнению с разделяющимися переменными подстановкой . Вычислив производную и подставив в уравнение(6), получим

В этом случае, если , разделяя переменные и интегрируя, получим

Если же найдутся такие значения , при которых то каждому такому будет отвечать решение не вытекающее из общего интеграла.

П р и м е р. Решить уравнение

Решение. Перепишем уравнение в виде и положим , откуда Подставляя в уравнение и получим:

Последнее получим при условии Интегрированием находим

Учитывая, что и обозначая получим

.

Заменяя на , получим общий интеграл

Положим теперь и Но не удовлетворяет уравнению при произвольном . Из второго равенства имеем Проверка показывает, что эти функции являются решениями уравнения.

Дата добавления: 2015-06-30