Допускающие понижение порядка

Дифференциальные уравнения типа

(9)

решаются последовательным интегрированием

П р и м е р. Решить уравнение

Решение. Интегрируя, получим ,

; , .

Уравнения не содержащие явно искомую функцию y

, (10)

Подстановка , приводит это уравнение к уравнению первого порядка относительно функции :

Решая это уравнение, находим функцию , а затем и :

П р и м е р. Решить уравнение

Решение. Вводим новую функцию , тогда .

Подставив ее в уравнение, имеем .

Это линейное уравнение первого порядка относительно z и его решение разыскиваем в виде произведения :

Учитывая требования находим функцию : . Подставляем в уравнение для определения

Отсюда

Таким образом, и можно найти функцию :

Уравнение, не содержащее явно независимую переменную х

(11)

Для его решения положим Тогда по правилу дифференцирования сложной функции, получим

Подставляя и в данное уравнение, получим уравнение первого порядка для вспомогательной функции

Решая его, найдем p как функцию у и постоянной : а затем найдем и из соотношения

П р и м е р. Найти решение задачи Коши:

Решение. Это уравнение не содержит . Делая замену и подставляя в уравнение, получим

Подставляя начальные данные найдем

Поскольку то Имеем

Подставляя получим После чего найдем:

Дата добавления: 2015-06-30