Тригонометрические уравнения

Простейшие тригонометрические уравнения

n sin x = m x = (- 1) ⁿ arcsin m + n, n Z

n cos x = m x = ± arccos m + 2 n, n Z

n tg x = m x = arctg m + n, n Z

Квадратные тригонометрические уравнения:

a cos² х + b cos x + c =0,

a sin² x + b sin x + c = 0,

a tg² x+ b tg x + c= 0

n 2 sin² x – 5 sin x + 2= 0

n 4 cos² x + 9 sin x + 5 = 0

cos² x = 1- sin² x

4 (1- sin² x) + 9 sin x + 5 = 0

n tg² x – 6 tg x + 5 = 0

Однородные уравнения I степени:

a sin x ± b cos x = 0

2 sin x – 3 cos x = 0

Такие примеры решаем при помощи деления всех членов уравнения на cos x, получается простейшее уравнение, которое мы умеем решать:

2 tg x – 3 = 0

tg x = 1,5

Ответ: 1, 5.

Однородные уравнения II степени:

a sin² x ± b sinx cosx ± cos² x =0

sin² x – 3 sinx cosx + 2 cos² x =0

Такие уравнения решаются при помощи деления всех членов уравнения на cos² x, т.к. присутствует слагаемое a sin² x, в результате получается тригонометрическое квадратное уравнение:

tg² x – 3 tg x + 2 = 0

Данное уравнение решается введением новой переменной.

Метод вспомогательного угла

4 sin x + 3 cos x = 5

√ a ² + b ²; √ 4 ² + 3 ² = 5

Разделим обе части уравнения на 5, получим равносильное данному 4/5 sin x + 3/5 cos x = 1

Пусть φ – угол, такой, что cos φ = 4/5, sin φ = 3/5; φ = arccos 4/5

sin (x + φ) = 1; от куда x + φ = π/2 + 2 πn

x = π/2 - arccos 4/5 + 2 πn, n є Z

Ответ: x = π/2 - arccos 4/5 + 2 πn, n є Z

Дата добавления: 2015-06-27