Решение. Общий член ряда имеет вид

Решение

Общий член ряда имеет вид .

Проверим условия теоремы Лейбница.

1) Члены ряда по абсолютной величине убывают:

2) Общий член ряда стремится к нулю

Рассмотрим ряд, составленный из абсолютных величин . Применим признак Даламбера , следовательно ряд сходится абсолютно.

Ответ: ряд сходится по признаку Лейбница.

Пример 6. Найти интервал сходимости степенного ряда .

Составим ряд из модулей членов ряда и вычислим

По признаку Даламбера ряд сходится при , отсюда или . Следовательно, ряд абсолютно сходится при .

Исследуем сходимость ряда в граничных точках.

При и из данного ряда получаем соответственно числовые ряды и . Из интегрального признака сходимости следует, что эти ряды сходятся абсолютно, поэтому интервалом сходимости данного ряда является промежуток .

Ответ: ряд сходится внутри промежутка .

Пример 7. Вычислить приближенно с указанной степенью точности

Дата добавления: 2015-07-02