Решение. Теоретические вопросы

ВЫПОЛНЕНИЯ ЗАДАНИЙ

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И ПРИМЕРЫ

Теоретические вопросы

ТЕМА 4. РЯДЫ

1. Что называется числовым рядом? Какие ряды называются сходящимися?

2. Можно ли утверждать, что ряд сходится, если .

3. Верно ли, что если ряд сходится, то его частичные суммы ограничены.

4. Существует ли ряд, который по признаку Даламбера сходится, а по признаку Коши расходится.

6. Сформулируйте интегральный признак сходимости.

7. Верно ли, что если ряд сходится абсолютно, то он сходится и условно?

8. Сформулируйте теорему Лейбница.

9. Существует ли степенной ряд, для которого верно следующее утверждение: на обоих концах интервала ряд расходится?

10. Может ли интервал сходимости ряда быть таким: (-2;0).

Пример 1. Проверить, выполняется ли необходимое условие сходимости для ряда

При - получим

, т.е. ряд расходиться, так как не выполнен необходимый признак.

Ответ: ряд расходится.

Пример 2. Пользуясь признаком сравнения определить сходимость (расходимость) ряда .

Решение. Ряд

Сравним его с гармоническим рядом , который является расходящимся. Т.к. , то по признаку сравнения ряд расходится.

Ответ:. ряд расходится по признаку сравнения.

Пример 3. Исследовать сходимость числового ряда .

Решение. Имеем , . Применяя признак Даламбера, вычислим

Ответ: По признаку Даламбера данный ряд сходится.

Пример 4. Исследовать сходимость числового ряда .

Решение. Введем функцию , удовлетворяющую условиям , и исследуем сходимость по интегральному признаку. Для этого вычислим

Несобственный интеграл сходится, следовательно, сходится и данный ряд.

Ответ: ряд сходится по интегральному признаку.

Пример 5. По признаку Лейбница определить сходимость знакопеременного ряда .

Дата добавления: 2015-07-02