Основы пространственной фильтрации

Некоторые локальные преобразования оперируют одновременно как со значениями пикселей в окрестности, так и с соответствующими им значениями некоторой матрицы, имеющей те же размеры, что и окрестность. Такую матрицу называют фильтром, маской, ядром, шаблоном или окном, причем первые три термина являются наиболее распространенными. Значения элементов матрицы принято называть коэффициентами.

Рис. 2 Схема пространственной фильтрации.

Вообще говоря, фильтрация тесно связана с применением преобразования Фурье и обработкой сигналов в частотной области. В данном же докладе рассматриваются операции фильтрации, которые выполняются непосредственно над элементами изображения. Для подобных операций используется термин пространственная фильтрация, в отличие от более традиционной фильтрации в частотной области.

Схема пространственной фильтрации иллюстрируется на Рис.2. Процесс основан на простом перемещении маски фильтра от точки к точке изображения; в каждой точке (х, у) отклик фильтра вычисляется с использованием предварительно заданных связей. В случае линейной пространственной фильтрации отклик задается суммой произведений коэффициентов фильтра на соответствующие значения пикселей в области, покрытой маской фильтра. Для маски 3x3 элемента, показанной на Рис.2, результат (отклик) R линейной фильтрации в точке (x, y) изображения составит:

(3)

что, как видно, есть сумма произведений коэффициентов маски на значения пикселей непосредственно под маской. В частности заметим, что коэффициент w(0,0) стоит при значении f(x,y), указывая тем самым, что маска центрирована в точке (х, у). В случае маски размерами т x п будем полагать, что т = 2а + 1 и п = 2b + 1, где а и b суть неотрицательные целые. Это означает, что в дальнейшем будут рассматриваться маски нечетныхразмеров, причем наименьшей будет маска 3x3 элемента.

Фильтрация изображения f, имеющего размеры MxN, с помощью фильтра размерами тхп задается выражением общего вида:

(4)

где, как следует из предыдущего абзаца, а = (т - 1)/2 и b = (п - 1)/2. При фильтрации всего изображения данная формула должна быть вычислена для всех сочетаний х = 0, 1, 2,..., М- 1 и у = 0, l,2,...,N- 1. Это означает, что все элементы изображения будут обработаны по заданной маске. Легко проверить, что при т = п = 3 данная формула сводится к формуле, приведенной в предыдущем абзаце.

Маску фильтра иногда называют маской свертки или ядро свертки.

В случае, когда интерес представляет только значение отклика R по маске тхп в точке (х,у), а не схема реализации маски свертки, иногда используют следующее выражение:

(5)

где w_i- суть коэффициенты маски, z_i — значения пикселей, соответствующих данным коэффициентам, а тп — общее число коэффициентов в маске. Для маски 3x3, представленной на Рис.3, отклик в точке (х, у)изображения будет

(6)

Специальное внимание, уделяемое данной простой формуле, объясняется тем, что она часто встречается в литературе по обработке изображений.

Рис. 3 Вариант представления маски фильтра по окрестности 3х3 элемента.

Нелинейные пространственные фильтры также работают по окрестности, причем механизм перемещения маски по изображению тот же, что был только что обрисован. Схема действий операции нелинейной фильтрации зачастую зависит от значений элементов анализируемой окрестности, и не обязательно должна использовать коэффициенты линейной комбинации, как это было в формулах (4) и (5).

Важным вопросом при реализации операций пространственной фильтрации по окрестности является рассмотрение ситуации, когда центр фильтра приближается к границам изображения. Для простоты рассмотрим квадратную маску размерами пхп. Когда эта маска находится на расстоянии (n-1)/2 элемента от границы изображения, то как минимум одна сторона маски будет находиться на его краю. Если же центр маски приближается к границе, то одна или несколько строк или столбцов маски будут находиться вне изображения. Существуют несколько способов учесть это обстоятельство. Простейший способ состоит в ограничении перемещения центра маски по изображению - не ближе, чем ( n-1)/2 элементов от края. Результирующее изображение после фильтрации будет по размерам меньше оригинала, зато все его точки будут обработаны полной маской. Если результат должен иметь те же размеры, что и оригинал, то обычно используется подход, при котором для фильтрации используется только та часть маски, которая полностью находится внутри изображения. При этом возле границ изображения образуется полоса точек, которые обрабатываются только частью маски фильтра. Другие подходы предусматривают расширение изображения за его границы добавлением строк и столбцов из нулей (или других постоянных значений), или же повторением строк и столбцов. После обработки добавленные строки и столбцы удаляются. Это позволяет сохранить размеры обработанного изображения равными размерам исходного, однако значения элементов, использовавшихся для расширения, будут оказывать влияние на значения элементов изображения внутри аналогичной полосы, которая тем шире, чем больше размеры маски. Единственный способ получить достоверный результат сводится к тому, чтобы согласиться с получением результирующего изображения с меньшими размерами путем ограничения перемещения центра маски - не ближе, чем на (n-1)/2 элементов от границ исходного изображения.

Дата добавления: 2015-07-02