О видимых движениях небесных тел 10 страница

На Земле мы наблюдаем, что тело, побуждаемое какой-нибудь силой, движется одинаковым образом, каков бы ни был угол, составленный направлением этой силы с направлением движения, общим для этого тела и для той части земной поверхности, где оно находится. Небольшое

отклонение от этого правила очень заметно изменило бы продолжительность колебания маятника в зависимости от положения плоскости его колебаний. А опыт показывает, что во всех вертикальных плоскостях эта продолжительность в точности одинакова. На корабле, движение которого равномерно, подвижное тело под воздействием пружины, силы тяжести или любой другой силы движется относительно частей корабля одинаково, каковы бы ни были скорость корабля и направление его движения. Следовательно, можно установить как общий закон земных движений, что, если в системе тел, увлекаемых общим движением, к одному из них приложить некоторую силу, его относительное или видимое движение будет одним и тем же, каковы бы ни были общее движение системы и угол, составленный его направлением с направлением приложенной силы.

Из этого закона, предполагаемого строгим, вытекает, что сила пропор­циональна скорости. Так, если представить себе два тела, с одинаковой скоростью движущихся по одной прямой, и к одному из них приложить силу, прибавляющуюся к первой, его скорость относительно другого тела будет такой же, как если бы первоначально оба тела были неподвижны. Ясно, что путь, пройденный телом под воздействием начальной силы и той, что к ней прибавлена, равен сумме путей, которые каждая из сил заставила бы тело пройти за это же время. А это предполагает, что сила пропорциональна скорости.

И наоборот: если сила пропорциональна скорости, относительные дви­жения тел, движущихся под воздействием любых сил, останутся прежними, каково бы ни было их общее движение, потому что это движение, разложенное па три составляющие, параллельные трем неподвижным осям, заставляет увеличиваться на одну и ту же величину парциальные скорости каждого тела параллельно этим осям. А так как относительная скорость зависит только от разности парциальных скоростей, она будет той же, каково бы ни было общее движение всех тел. Поэтому, участвуя в движении системы тел, по наблюдаемым в ней явлениям невозможно судить о ее абсолютном движении. Вот что характеризует этот закон, неведение которого задержало познание истинной системы мира из-за того, что трудно было разобраться в относительных движениях тел, переме­щающихся над Землей, увлекаемой двойным движением: вращением вокруг самой себя и обращением вокруг Солнца.

Ввиду исключительной малости самых значительных движений, которые мы можем сообщить телам, по сравнению с движением, увлекающим их вместе с Землей, для того чтобы видимые движения системы тел были независимы от направления этого движения, достаточно, чтобы небольшое увеличение силы, приводящей в движение Землю, относилось к соответствующему увеличению скорости, как сами эти величины. Так, наш опыт только доказывает реальность этой пропорции, которая, если она имеет место независимо от скорости Земли, дала бы закон пропорциональности скорости и силы. Более того, она дала бы этот закон, если бы функция скорости, выражающая силу, состояла бы лишь из одного члена. Если бы скорость не была пропорциональна силе, пришлось

бы предположить, что в природе функция скорости, выражающая силу, образована из нескольких членов, что мало вероятно. Кроме того, надо было бы предположить, что скорость Земли в точности такова, чтобы удовлетворить упомянутому выше отношению, что мало правдоподобно. К тому же скорость Земли изменяется в разные времена года: она приблизительно на 1/30 больше зимой, чем летом. Это изменение делается еще значительнее, если, как все па это указывает, солнечная система движется в пространстве. Поэтому в зависимости от того, совпадает ли это поступательное движение с движением Земли или обратно ему, в абсолютном движении Земли должны получаться большие годичные неравномерности. А это должно было бы изменить пропорцию, о которой идет речь, и отношение приложенной силы к относительной скорости, которую она сообщает, если бы эти пропорция и отношение не были независимы от абсолютной скорости.

Все небесные явления подтверждают эти доводы. Скорость света, оп­ределенная по затмениям спутников Юпитера, складывается со скоростью Земли в точности по такому же закону, как закон пропорциональности силы и скорости, и все движения солнечной системы, вычисленные по этому закону, в точности совпадают с наблюдениями.

Итак, вот два закона движения, а именно, закон инерции и закон пропорциональности силы и скорости, которые получены благодаря наблюдениям. Они наиболее естественные и самые простые из всех, какие можно вообразить, и, несомненно, вытекают из самой природы материи. Но так как эта природа нам неизвестна, для нас эти законы – лишь только наблюденные факты, впрочем, единственные, которые механика заимствует из опыта.

Поскольку скорость пропорциональна силе, эти две величины могут быть выражены одна через другую. Поэтому па основании предыдущего можно получить скорость точки, увлекаемой любым числом сил, у которых известны направления и скорости.

Если точка подвергается действию постоянных сил, в своем непрерывно меняющемся движении она опишет кривую, вид которой зависит от действующих на нее сил. Чтобы его определить, надо рассмотреть элементы этой кривой, выяснить, как они рождаются одни из других и, исходя из закона изменения координат, установить их окончательные выражения. Это является задачей исчисления бесконечно малых, счастливое открытие которого доставило механике так много возможностей. Понятно, насколько полезно совершенствовать этот мощный инструмент человеческого разума.

Сила тяжести являет нам повседневный пример силы, действующей, по-видимому, беспрерывно. Правда, мы не знаем, не разделено ли ее действие неощутимо малыми промежутками времени, но поскольку при этой гипотезе явления были бы почти такими же, как и в случае совершенно непрерывного действия, геометры предпочли последнюю гипотезу как более удобную и простую. Изложим законы этих явлений.

Сила тяжести представляется действующей одинаково как на непод­вижные, так и на движущиеся тела. В первое мгновение тело, предо-

ставленное ее действию, приобретает бесконечно малую ступень скорости, во второе мгновение к ней прибавляется еще одна ступень скорости и так далее. Таким образом, скорость возрастает вместе со временем.

Если вообразить прямоугольный треугольник, одна сторона которого представляет время и увеличивается вместе с ним, другая сторона могла бы представлять скорость. Элемент поверхности этого треугольника, равный произведению элемента времени на скорость, будет представлять элемент расстояния, пройденного под действием силы тяжести. Это расстояние будет представлено всей площадью треугольника, которая, увеличиваясь как квадрат одной из его сторон, показывает, что в движении, ускоренном силой тяжести, скорости возрастают как время, и высоты, с которых тела падают из положения покоя, увеличиваются как квадраты времени или скорости. Поэтому если за единицу принять расстояние, на которое тело упадет за первую секунду, оно опустится на четыре единицы за 2 с, на девять единиц через 3 с и т.д. Таким образом, за каждую секунду тело пролетит расстояние, возрастающее как нечетные числа i, 3, 5, 7... и т.д.

Расстояние, которое тело прошло бы при постоянной скорости, при­обретенной им к концу падения, за время, затраченное на это падение, будет равно произведению этого времени на скорость. Это произведение равно удвоенной поверхности треугольника. Итак, тело, двигающееся равномерно под влиянием приобретенной им скорости, за время, равное времени его падения, описала бы расстояние, вдвое большее, чем то, которое оно прошло при падении.

Отношение приобретенной скорости к времени постоянно для данной ускоряющей силы. Оно увеличивается или уменьшается в зависимости от величины этой силы и, следовательно, может служить для ее выражения. Так как удвоенное пройденное расстояние равно произведению времени на скорость, ускоряющая сила равна этому удвоенному расстоянию, разделенному на квадрат времени. Она также равна квадрату скорости, разделенному на удвоенный путь. Эти три способа выражения ускоряющей силы полезны при разных обстоятельствах. Они не дают абсолютных значений этих сил, а выражают лишь их взаимные отношения, что только и нужно для механики.

На наклонной плоскости действие силы тяжести разлагается на две составляющие: одна, перпендикулярная плоскости, уничтожается ее сопротивлением, другая, параллельная плоскости, относится к исходному значению силы тяжести как превышение одного конца плоскости над другим к ее длине. Следовательно, на наклонных плоскостях движение будет равномерно ускоренным, по скорости и пройденные расстояния будут находиться к скоростям и расстояниям, пройденным за то же время по вертикали, в том же отношении. Отсюда следует, что все хорды вертикальной окружности, сходящиеся к одному из концов ее вертикального диаметра, под влиянием силы тяжести описываются за то же время, что и этот диаметр.

Тело, брошенное в направлении любой прямой, непрерывно от нее от­клоняется, описывая вогнутую к горизонту кривую, к которой эта прямая

является первой касательной. Движение тела, перенесенное на эту касательную вертикальными линиями, равномерно, но оно ускоряется по вертикали в соответствии с приведенным памп законом. Таким образом, вертикали, построенные в каждой точке кривой и продолженные до пересечения с первой касательной, будут пропорциональны квадратам соответствующих отрезков этой касательной, что свойственно параболе. Если сила метания направлена вверх по вертикали, парабола совпадает с ней. Поэтому формулы параболического движения охватывают и ускоренные или замедленные движения по вертикали.

Таковы законы падения тяжелых тел, открытые Галилеем. Сегодня нам кажется, что их легко было открыть. Но поскольку они ускользнули от исследований философов, несмотря на явления, воспроизводившие их непрерывно, оказался необходимым редкий гений, чтобы распознать их в этих явлениях.

В первой книге мы уже видели, что материальная точка, подвешенная на одном конце невесомой прямой, противоположный конец которой закреплен неподвижно, образует простой маятник. Если этот маятник отклонить от вертикали, он стремится возвратиться к ней, и это стремление почти пропорционально отклонению, если отклонение незначительно. Представим себе два маятника одинаковой длины, одновременно отклоняющихся с очень малыми скоростями от вертикального положения. В первый момент они опишут дуги, пропорциональные этим скоростям. В начале второго момента, равного первому, скорости будут замедлены пропорционально описанным дугам и, следовательно, начальным скоростям. Значит, дуги, описанные за второй момент, также пропорцио­нальны этим скоростям. То же произойдет в третий момент, в четвертый и т.д. Таким образом, в каждый момент скорости и дуги, отсчитанные от вертикального положения, будут пропорциональны исходным скоростям, и маятники одновременно придут к состоянию покоя. Затем они вернутся к вертикали ускоренным движением по тем же законам, по которым их скорость замедлялась, и одновременно достигнут ее с исходной скоростью. После этого они таким же образом качнутся по другую сторону от вертикали, и, не испытывая сопротивления, качались бы так бесконечно долго. Ясно, что размах их колебаний пропорционален начальной скорости, но время колебаний одно и то же и, следовательно, не зависит от размаха колебаний. Так как сила, ускоряющая или замедляющая маятник, не вполне точно соответствует дуге отклонения от вертикали, при малых колебаниях тяжелого тела, движущегося по дуге круга, эта изо­хронность является лишь приблизительной. Изохронность соблюдается в точности при движении маятника по кривой, на которой сила тяжести, разложенная параллельно касательной, пропорциональна дуге, отсчитанной от самой нижней точки, что немедленно дает ее дифференциальное уравнение. Гюйгенс, которому мы обязаны приложением маятника к часам, старался найти эту кривую и способ заставить маятник ее описывать. Он нашел, что это – циклоида, расположенная вертикально так, что ее вершина является самой низкой точкой. Чтобы заставить тело, подвешенное на конце нерастяжимой нити, описывать эту циклоиду, достаточно

другой конец этой нити укрепить в общем начале двух других таких же циклоид, расположенных тоже вертикально, но в противоположном направлении, причем нить во время качания должна охватывать поочередно каждую из этих кривых. Как бы ни были остроумны эти исследования, опыт заставил предпочесть круговой маятник, как более простой и достаточно точный, даже для астрономии.²⁵ Но теория разверток, или эволют, порожденная ими, оказалась очень важной по своим применениям к системе мира.

Период очень малых колебаний кругового маятника относится к времени, за которое тяжелое тело падает с высоты, равной двойной длине этого маятника, как полуокружность относится к диаметру. Таким образом, время падения вдоль малой дуги, ограниченной вертикальным диаметром, относится к времени падения вдоль этого диаметра, или, что то же самое, к хорде этой дуги, как четверть окружности относится к диаметру. Следовательно, прямая, проведенная между двумя заданными точками, не является линией самого быстрого спуска от одной из них к другой. Поиски такой линии заинтересовали геометров, и они нашли, что это циклоида, начало которой расположено в самой высокой точке.

Длина простого маятника, отбивающего секунды, относится к удвоенной высоте, с которой падают тела под действием силы тяжести в первую секунду их падения, как квадрат диаметра относится к квадрату окружности. Так как эту длину можно измерить с большой точностью, посредством этой теоремы можно получить время падения тел с определенной высоты значительно точнее, чем путем прямых опытов.²⁶ В первой книге указывалось, что очень точные опыты дали длину секундного маятника ²⁷ в Париже, равную 0.741877 м. Отсюда следует, что сила тяжести заставляет тело за первую секунду падать на 3.66107 м. Этот переход от колебательного движения, период которого можно с большой точностью определять, к прямолинейному движению тяжелых тел является остроумнейшим наблюдением, которым мы обязаны Гюйгенсу.

Продолжительности очень малых колебаний маятников разной длины, движимых одной и той же силой тяжести, относятся как корни квадратные из их длины. Если же маятники одинаковой длины, а силы тяжести различны, продолжительности колебаний обратны квадратным корням из сил тяжести.

На основании этих теорем было определено изменение силы тяжести на поверхности Земли и на вершинах гор. Наблюдения маятников позволили также узнать, что сила тяжести не зависит ни от поверхности, ни от формы тел, но что она проникает в самые глубокие их части и стремится сообщить им одновременно одинаковые скорости. Чтобы в этом убедиться, Ньютон заставлял колебаться большое число тел одинакового веса, но разной формы и из разных материалов, помещая их в одну и ту же емкость, чтобы сопротивление воздуха было одинаковым. Несмотря на всю точность, с которой производились им эксперименты, он не заметил ощутимой разницы в длине простых секундных маятников, выведенной из продолжительности колебания этих тел. Отсюда следует, что при от-

сутствии сопротивления качанию их скорости, достигнутые под влиянием силы тяжести за одинаковое время, равны между собой.

В круговом движении мы имеем еще один пример непрерывно дей­ствующей силы. Так как движение материи, предоставленной самой себе, равномерно и прямолинейно, ясно, что тело, движущееся по окружности, непрерывно стремится удалиться от центра по касательной. Усилие, которое оно для этого делает, называется центробежной силой, а центральной, или центростремительной, силой называют всякую силу, направленную к центру. В круговом движении центростремительная сила равна и прямо противоположна центробежной. Она непрерывно стремится приблизить тело с окружности к центру, и за очень короткий промежуток времени ее действие измеряется синусом-верзусом малой описанной дуги. Учитывая сказанное, можно сравнить силу тяжести с центробежной силой, вызванной вращением Земли. На экваторе тела вследствие этого вращения за каждую секунду времени описывают дугу 40.^сс1095 [12."9955] экваториальной окружности Земли. Так как радиус экватора равен почти в точности 6 376 606 м, синус-верзус дуги равен 0.0 J 26559 м. За 1 с сила тяжести на экваторе заставляет тела падать па 3.64930 м; центростреми­тельная сила, необходимая, чтобы удержать тела на поверхности Земли, и, тем самым, центробежная сила, обусловленная ее вращением, относится к силе тяжести на экваторе как единица к 288.4. Центробежная сила уменьшает силу тяжести, и на экваторе тела падают под действием только разности этих двух сил. Поэтому, называя гравитацией полное притяжение, или силу тяжести, не уменьшенную центробежной силой, получим, что на экваторе центробежная сила с большим приближением равна 1/289 гравитации. Если бы Земля вращалась в 17 раз быстрее, дуга, описанная за 1 с, была бы в 17 раз больше, ее синус-верзус был бы в 289 раз больше, центробежная сила была бы в этом случае равна гра­витации и тела на земном экваторе потеряли бы вес.

Вообще, ускоряющая постоянная сила, действующая всегда в одном направлении, равна удвоенному пути, который она заставляет описать тело, разделенному на квадрат времени. Всякая ускоряющая сила в очень коротком интервале времени может считаться постоянной и действующей в одном направлении. Путь, который центростремительная сила заставляет тело описывать при круговом движении, равен синусу-верзусу описанной малой дуги, и этот последний почти точно равен квадрату дуги, разделенному на диаметр. Поэтому выражение этой силы представляется квадратом описанной дуги, деленным на квадрат времени и на радиус окружности. Дуга, разделенная на время, равна скорости тела, и, следовательно, как центростремительная, так и центробежная сила равны квадрату скорости, разделенному на радиус.

Сопоставив этот вывод с тем, к которому мы пришли раньше и в со­ответствии с которым сила тяжести равна квадрату достигнутой скорости, разделенной на удвоенное расстояние, пройденное по вертикали, мы увидим, что центробежная сила равна силе тяжести, если скорость вращающегося тела равна скорости, приобретаемой весомым телом, падающим с высоты, равной половине радиуса описываемой окружности.

Скорости нескольких тел, двигающихся по окружностям, равны пери­метрам этих окружностей, деленным на время обращения. Окружности относятся друг к другу как их радиусы. Следовательно, квадраты скоростей относятся как квадраты радиусов, деленные на квадраты времен обращения. Поэтому центробежные силы относятся между собой как радиусы окружностей, деленные на квадраты времен обращения. Отсюда следует, что на разных параллелях Земли центробежные силы, вызванные ее вращательным движением, пропорциональны радиусам этих параллелей.

Эти прекрасные теоремы, выведенные Гюйгенсом, привели Ньютона к общей теории движения по кривым и к закону всемирного тяготения. Тело, описывающее некоторую кривую, стремится отклониться от нее по касательной; всегда можно вообразить окружность, проходящую через два смежных элемента²⁸ этой кривой и называемую оскулирующей окружностью. В два последовательных отрезка времени тело движется по этой окружности. Следовательно, его центробежная сила равна квадрату скорости, разделенному на радиус этой оскулирующей окружности, но ее положение и радиус непрерывно изменяются.

Если кривая описана под действием силы, направленной к неподвиж­ной точке, ее можно разложить на две, из которых одна направлена по оккупирующему радиусу, а другая – по элементу кривой. Первая из них уравновешивает центробежную силу, вторая – увеличивает или умень­шает скорость тела, и поэтому его скорость непрерывно изменяется. Но она всегда такова, что площади, описанные радиусом-вектором вокруг центра действия силы, пропорциональны времени. И наоборот, если пло­щади, описанные радиусом-вектором вокруг неподвижной точки, возрастают как время, сила, заставляющая их описывать, направлена постоянно к этой точке. Эти зависимости, фундаментальные для теории системы мира, легко доказываются следующим образом.

Можно предположить, что ускоряющая сила действует только в начале каждого отрезка времени, в течение которого движение тела равномерно. Тогда радиус-вектор опишет маленький треугольник. Если бы сила перестала действовать в следующий отрезок времени, радиус-вектор описал бы в этот второй отрезок времени новый треугольник, равный первому, поскольку вершины этих треугольников находятся в неподвижной точке – центре действия силы, а их основания, расположенные на одной прямой, равны, как описанные с одинаковыми скоростями в равные промежутки времени. Но в начале нового отрезка времени ускоряющая сила сочетается с касательной силой, действующей на тело, и заставляет его описать диагональ параллелограмма, стороны которого представляют эти силы. Треугольник, описываемый радиусом-вектором под действием этой комбинированной силы, равен тому, который был бы описан в отсутствие ускоряющей силы, так как эти два треугольника имеют общим основанием радиус-вектор конца первого отрезка времени, а их вершины нахо­дятся на прямой, параллельной этому основанию. Поэтому площади, опи­санные радиусом-вектором, равны в обоих последовательных и равных отрезках времени. Следовательно, сектор, описанный этим радиусом, воз-

растает как число таких отрезков времени или как время. Ясно, что это будет только при условии, если ускоряющая сила направлена к неподвижной точке. В противном случае рассматриваемые нами треугольники не были бы одинаковой высоты. Таким образом, пропорциональность площадей времени доказывает, что ускоряющая сила постоянно направлена к началу радиуса-вектора.

В этом случае, если вообразить очень малый сектор, описанный за очень короткое время, из начала дуги этого сектора провести касательную к кривой и продолжить до этой касательной радиус, проведенный из центра действия силы к другому концу дуги сектора, то часть радиуса, заключенная между дугой и касательной, будет, очевидно, расстоянием, пройденным под влиянием центростремительной силы. Удвоив это расстояние и разделив результат на квадрат времени, получим выражение силы. А так как сектор пропорционален времени, центростремительная сила будет как бы частью радиуса, заключенной между кривой и касательной, разделенной на квадрат сектора. Строго говоря, центростремительная сила в разных точках кривой не пропорциональна этой дроби, но она приближается к ней по мере уменьшения секторов так, что в пределе равна ей в точности. Дифференциальный анализ дает этот предел в виде функции радиуса, когда форма кривой известна, и тогда получают функцию расстояния, которому пропорциональна центростремительная сила.

Хотя закон действия силы известен, определение кривой, которую она заставляет описывать, все же представляет большие трудности. Но каковы бы ни были силы, приводящие в движение тело, предполагаемое свободным, легко следующим образом написать дифференциальные уравнения его движения. Вообразим три неподвижные и взаимно перпендикулярные оси, относительно которых для некоторого момента определены три координаты рассматриваемого тела. Разлагая каждую из действующих на него сил на три других, параллельных этим же осям, и умножив равнодействующую всех сил, параллельных одной из координатных осей, на элемент времени ее действия, получим приращение скорости тела, параллельное этой координате. Эта скорость может быть приравнена к элементу координаты, разделенному на элемент времени, так что дифференциал частного от этого деления равен предыдущему произведению. Рассмотрение двух других координат дает еще два подобных равенства. Таким образом, определение движения тела становится задачей чистого анализа, который сводится к интегрированию этих дифференциальных уравнений.

Вообще, если положить, что элемент времени постоянен, вторая разность каждой координаты, разделенная на квадрат этого элемента, представит силу, которая, будучи приложена к точке в обратном направлении, уравновесила бы силу, действующую по этой координате. Если умножить разность этих сил на произвольное изменение координаты и сложить три подобных произведения, относящихся к трем координатам, то, по условию равновесия, их сумма будет равна нулю. Если тело свободно, изменения всех трех координат будут произвольными, и, приравняв коэффициенты при каждой из них нулю, получим три дифференциальных уравнения

движения точки. Но если точка не свободна, между тремя координатами возникают одна или две зависимости, которые дадут такое же число уравнений, связывающих произвольные изменения координат. Поэтому, исключив с их помощью столько же этих изменений, мы приравняем нулю коэффициенты остающихся изменений и получим дифференциальные уравнения движения, которые в сочетании с соотношениями координат определят положение точки для любого момента.

Интегрирование этих уравнений нетрудно, если сила направлена к не­подвижному центру. Но часто природа сил делает это интегрирование невозможным. Однако рассмотрение дифференциальных уравнений приводит к некоторым интересным принципам механики. Например, дифференциал квадрата скорости точки, подвергнутой действию ускоряющих сил, равен удвоенной сумме произведений каждой силы на малый отрезок, на который точка подвигается в направлении этой силы. Отсюда легко заключить, что скорость, достигнутая весомым телом вдоль некоторой кривой или изогнутой поверхности, такова, как если бы оно вертикально падало с той же высоты.

Многие философы, пораженные порядком, господствующим в природе, и ее плодовитостью в создании явлений, пришли к мысли, что она всегда приходит к своей цели самым простым путем. Распространяя этот взгляд на механику, они искали в ней экономию, которую соблюдает природа в использовании сил и времени. Птолемей узнал, что отраженный свет проходит из одной точки в другую по самому короткому пути и, следовательно, в самое короткое время, полагая скорость световых лучей неизменной. Ферма, один из самых великолепных гениев, которыми гордится Франция, обобщил этот принцип, распространив его на преломление света. Он предположил, что свет проходит из точки, взятой вне прозрачной среды, в точку, находящуюся внутри ее, за самое короткое время. Затем, считая очень вероятным, что скорость света должна быть меньше в этой среде, чем в пустоте, он искал, каков будет при этом пред-положении закон преломления света. Приложив к этой проблеме свой прекрасный метод максимумов и минимумов, который надо рассматривать как истинный зародыш дифференциального исчисления, он нашел в согласии с опытом, что синусы углов падения и преломления должны быть в постоянном отношении, большем единицы. Счастливый способ, которым Ньютон вывел это отношение из притяжения сред, навел Монертюи на мысль, что скорость света в прозрачных средах увеличивается и что, таким образом, вопреки утверждениям Ферма, не сумма частных от деления расстояний, пройденных в пустоте и в среде, па соответствующие скорости, а сумма произведений этих величин должна быть минимальна. Эйлер распространил это предположение на непрерывно изменяющиеся движения и доказал разными примерами, что среди всех кривых, какие может описать тело, двигаясь из одной точки в другую, оно всегда выбирает ту, в которой интеграл произведения его массы на скорость и на элемент кривой минимален. Таким образом, скорость точки, движущейся по кривой поверхности и не побуждаемой никакой силой, постоянна; точка переходит из одного положения в другое по самой ко-

роткой линии на этой поверхности. Вышеупомянутый интеграл назвали действием тела, а совокупность подобных интегралов, относящихся к каждому телу некоторой системы, действием системы. Эйлер установил, что это действие всегда минимально, так что экономия природы сводится к его сбережению. В этом заключается принцип наименьшего действия, настоящим изобретателем которого надо считать Эйлера, и который затем был выведен Лагранжем из основных законов движения. Этот принцип по существу есть лишь весьма любопытный результат этих законов, которые, как мы уже видели, наиболее естественны в самые простые из всех, какие можно вообразить, и которые поэтому кажутся вытекающими из самого существа материи. Он годится для всех математически возможных зависимостей между силой и скоростью, если в эти зависимости вместо скорости подставлять функцию скорости, через которую выражена сила. Поэтому принцип наименьшего действия не следует рассматривать как конечную причину. Этот принцип не только не породил законы движения, но даже не способствовал их открытию, без которого все еще спорили бы о том, что следует понимать под принципом наименьшего действия в природе.

Глава III

О РАВНОВЕСИИ СИСТЕМЫ ТЕЛ

Самый простой случай равновесия нескольких тел – это равновесие двух материальных точек, сталкивающихся с равными, но противоположными скоростями. Их взаимная непроницаемость – свойство материи, в силу которого два тела не могут в одно и то же время занимать одно и то же место, уничтожает, очевидно, их скорости и приводит эти тела в состояние покоя. Но каково будет в случае равновесия отношение скоростей к массам, если сталкиваются два тела с разными массами и с взаимно противоположными скоростями? Чтобы разрешить эту проблему, вообразим систему соприкасающихся материальных тел, расположенных на одной прямой и двигающихся с некоторой общей скоростью в одном направлении. Кроме того, представим себе другую систему соприкасающихся материальных тел, расположенных на той же прямой и перемещающихся тоже с общей скоростью в противоположном направлении. Столкнувшись, обе системы приходят в равновесие. Ясно, что если бы первая система состояла только из одной материальной точки, каждая точка второй системы погашала бы при столкновении часть скорости первой системы, равную скорости второй системы. Следовательно, в рассматриваемом случае равновесия, скорость ударяющей точки должна быть равной произведению скорости второй системы на число ее точек. В результате первую систему можно заменить одной точкой, придав ей скорость, равную этому произведению. Подобным же образом вторую систему можно заменить материальной точкой со скоростью, равной скорости первой системы, умноженной на число ее точек. Так, вместо двух

Дата добавления: 2015-07-02