О видимых движениях небесных тел 12 страница

Отсюда легко заключить, что сумма произведений масс на квадраты их скоростей остается одинаковой до и после соударения двух тел. Это же имеет место и при соударениях любого числа идеально упругих тел, при любом способе взаимодействия между ними.

Таковы законы передачи движения, подтверждаемые опытом и мате­матически вытекающие из двух фундаментальных законов движения, которые мы изложили во второй главе этой книги. Многие философы пробовали их вывести, рассматривая конечные причины. Декарт, убежденный, что количество движения без учета его направления должно всегда оставаться неизменным во вселенной, вывел из этой ложной гипотезы ложные законы передачи движения. Они являются поучительным примером ошибок, которым подвергаются те, кто ищет разгадки законов природы по ее вымышленным свойствам.

Когда тело получает импульс в направлении, проходящем через его центр тяжести, все его части двигаются с одинаковой скоростью. Если же это направление проходит в стороне от этого центра, разные части тела получают неодинаковые скорости, и из-за этого неравенства возникает вращение тела вокруг его центра тяжести, в то время как сам этот центр уносится со скоростью, которую он бы принял, если бы направление импульса проходило через центр тяжести. Именно это мы имеем в случае Земли и других планет. Итак, чтобы объяснить двойное – вращательное и поступательное – движение Земли, достаточно предположить, что она вначале получила импульс, направление которого прошло на небольшом расстоянии от ее центра тяжести, расстоянии, которое при предположении, что эта планета однородна, равно приблизительно 1/160 части ее радиуса. Бесконечно мало вероятно, чтобы все силы, сообщившие перво­начальное движение планетам, их спутникам и кометам, точно прошли бы через их центры тяжести. Поэтому все эти тела должны вращаться вокруг самих себя. По подобной же причине Солнце, тоже имеющее вращательное движение, должно было получить импульс, который, не пройдя через его центр тяжести, уносит его в пространство вместе с планетной системой, если только импульс обратного направления не уничтожит это движение, что кажется невероятным.

Импульс, сообщенный однородной сфере в направлении, не проходящем через ее центр, заставляет ее непрерывно вращаться вокруг диаметра, перпендикулярного плоскости, проходящей через ее центр и через направление приложенной силы. Новые силы, увлекающие все ее точки, равнодействующая которых проходит через ее центр, не изменяют па-

раллельность ее оси вращения. Поэтому ось вращения Земли остается всегда почти точно параллельной самой себе при обращении вокруг Солнца; при этом не возникает необходимости предполагать, подобно Копернику, существование годичного движения полюсов Земли вокруг полюсов эклиптики.

Если тело имеет произвольную форму, его ось вращения может не­прерывно изменяться. Исследование этих изменений при любых силах, действующих на тело, является наиболее интересной проблемой механики твердых тел вследствие ее связи с предварением равноденствий и с либрацией Луны.* Разрешая эту проблему, пришли к любопытному и очень полезному результату, а именно, в каждом теле существуют три взаимно перпендикулярные оси, проходящие через его центр тяжести, вокруг которых тело может равномерно и непрерывно вращаться, если оно не подвержено действию внешних сил. Поэтому эти оси названы главными осями вращения. Они обладают тем свойством, что сумма произведений силы каждой молекулы тела на квадрат ее расстояния до оси максимальна по отношению к двум из этих осей и минимальна относительно третьей.²⁹ Если представить себе тело вращающимся вокруг оси, слегка наклоненной по отношению к одной из двух первых осей, мгновенная ось вращения тела отклонится от них на очень малую величину. Поэтому вращение будет устойчивым по отношению к этим двум первым осям и не будет устойчивым относительно третьей; малые отклонения от них мгновенной оси вращения вызовут большие колебания тела вокруг третьей оси.

Весомое тело или система тел любой формы, колеблясь относительно неподвижной горизонтальной оси, образуют сложный маятник. В природе нет других маятников. Простые маятники, о которых мы раньше говорили, представляют лишь чисто геометрические абстракции, служащие для упрощения предмета. Легко привести сложные маятники к простому, если у сложного маятника все части неподвижно связаны между собой. Если умножить длину простого маятника, продолжительность колебания которого равна продолжительности колебания сложного маятника, на массу последнего и на расстояние от его центра тяжести до оси качания, произведение будет равно сумме произведений [массы] каждой молекулы сложного маятника на квадрат ее расстояния до той же оси. По этому правилу, найденному Гюйгенсом, опыты со сложными маятниками позволили узнать длину простого маятника, отбивающего секунды.

Представим себе маятник, делающий очень малые колебания в одной и той же плоскости, и предположим, что в тот момент, когда он максимально отклонился от вертикали, к нему приложили небольшую силу, перпендикулярную плоскости его качания. Он опишет эллипс вокруг вертикали. Чтобы представить себе его движение, можно вообразить фиктивный маятник, продолжающий свои колебания как и реальный маятник, но без приложенной к нему новой силы, тогда как реальный маятник качается, под воздействием этой силы по обе стороны идеального

__________________

* Имеется в виду физическая либрация Луны (См. комм. 2, ред.).

маятника, как если бы этот фиктивный маятник был неподвижен и вертикален. Таким образом, движение реального маятника является результатом двух простых колебаний, происходящих одновременно и перпендикулярно друг другу.

Этот способ анализа малых колебаний тел может быть распространен на любую систему. Если предположить, что система выведена из состояния равновесия очень малыми импульсами и затем ей сообщены еще новые импульсы, она будет колебаться по отношению к последовательным состояниям, которые она приняла в силу первых импульсов, таким же образом, каким она колебалась бы по отношению к состоянию своего равновесия, как если бы в этом состоянии ей были сообщены только новые импульсы. Очень малые колебания системы тел, как бы они ни были сложны, могут поэтому рассматриваться как сформированные из простых колебаний, в точности подобных колебаниям маятника. В самом деле, если представить себе систему первоначально в состоянии покоя и затем очень незначительно выведенную из состояния равновесия так, чтобы сила, действующая на каждое тело, стремилась вернуть его в положение, которое оно занимало в этом состоянии, и, кроме того, была пропорциональна расстоянию тела от этой точки, то ясно, что это будет иметь место во время колебания системы, и в каждый момент скорости разных тел будут пропорциональны их расстояниям от положения равновесия. Поэтому все тела одновременно придут в это положение и будут колебаться как простой маятник. Но предположенное нами нарушение равновесия системы – не единственно возможное. Если отдалить одно из тел от его положения равновесия и искать положения других тел системы, которые удовлетворяли бы предыдущим условиям, мы придем к уравнению, степень которого равна числу тел системы, подвижных относительно друг друга. Для каждого тела это дает столько видов простых колебаний, сколько имеется тел. Представим себе, что у системы – колебания пер­вого вида, и в некоторый момент мысленно все тела отдалим от их положений, пропорционально величинам, соответствующим колебаниям второго вида. В силу сосуществования колебаний система будет колебаться но отношению к последующим состояниям, которые она имела бы при колебаниях первого вида, так же, как если бы она имела колебания только второго вида вокруг своего равновесного состояния. Ее движение, таким образом, будет сформировано из двух видов колебаний. Подобным же образом с этим движением можно скомбинировать третий вид колебаний и, продолжая комбинировать все эти виды колебаний самым общим способом, путем синтеза составить все возможные движения системы, лишь бы они были очень малы. И, наоборот, путем анализа можно разложить движения на простые колебания. Отсюда следует простой способ распознавания абсолютной устойчивости равновесия системы тел. Если во всех положениях, относящихся ко всем видам колебаний, силы стремятся возвратить тела в состояние равновесия, это состояние будет устойчивым. Оно таким не будет или будет иметь только относительную устойчивость, если в некоторых из положений системы силы стремятся отдалить тела от положения равновесия.

Ясно, что этот способ анализа очень малых движений системы тел может быть распространен даже на жидкости и газы, колебания которых являются результатом простых, одновременно существующих и часто бесчисленных колебаний.

В распространении воли мы имеем наглядный пример сосуществования очень малых колебаний. Если в некоторой точке возбудить поверхность стоячей воды, мы увидим, как формируются и распространяются от этой точки круговые волны. Возбуждая поверхность в другой точке, мы создадим новые волны, которые смешиваются с первыми. Они накладываются на поверхность, возмущенную первыми волнами, как расположились бы на этой поверхности, если бы она была спокойной, так что их можно хорошо отличить в смеси волн. То, что глаз различает в случае волн на воде, ухо распознает в звуках, или колебаниях воздуха, которые распространяются одновременно, не изменяясь, и очень хорошо различимы между собой.

Принцип сосуществования простых колебаний, установленный Даниилом Бернулли, является одним из тех общих результатов, которые пленяют воображение той легкостью, с которой они позволяют ему представлять явления и их последовательные изменения. Он легко выводится математически из аналитической теории малых колебаний системы тел. Эти колебания зависят от дифференциальных линейных уравнений, полные интегралы которых представляются суммой частных интегралов. Таким образом, простые колебания накладываются одно на другое и образуют движение системы, как выражающие их частные интегралы складываются вместе, чтобы образовать полный интеграл. Таким способом в явлениях природы интересно прослеживать интеллектуальные истины анализа. Это соответствие, многочисленные примеры которого являет нам система мира, составляет одно из самых больших очарований математического мышления.

Естественно желание привести к одному основному принципу законы движения тел, подобно тому, как законы их равновесия были сведены в едином принципе возможных скоростей. Для этого рассмотрим движение системы тел, воздействующих друг на друга, но не подверженных действию ускоряющих сил. Их скорости изменяются в каждый момент. Но можно представить себе каждую из этих скоростей в некоторый момент составленной из скорости, действующей в следующий момент, и другой скорости, которая должна уничтожиться в начале этого второго момента. Если бы уничтоженная скорость была известна, было бы легко, по закону разложения сил, вывести скорость тел во второй момент; однако известно, что если бы тела двигались только под воздействием этих уничтоженных скоростей, они пришли бы во взаимное равновесие. Таким образом, законы равновесия дадут соотношения утраченных скоростей, и из этих соотношений будет легко вывести оставшиеся скорости и их на­правления. Так, с помощью анализа бесконечно малых можно получить последовательные изменения движения системы и ее положение на любой момент.

Ясно, что если тела подвержены действию ускоряющих сил, всегда

можно применить те же разложения скоростей. Но тогда должно иметь место равновесие между уничтоженными скоростями и именно этими силами.

Этот способ приведения законов движения к законам равновесия, которым мы обязаны главным образом Даламберу, является общим и очень ясным. Можно было бы удивляться, что он ускользнул от геометров, занимавшихся динамикой раньше Даламбера, если бы не было известно, что самые простые идеи почти всегда последними приходят человеческому уму.

Оставалось еще объединить изложенный нами принцип с принципом возможных скоростей, чтобы придать механике все то совершенство, на которое она способна. Это сделал Лагранж, и таким путем свел исследование движения любой системы тел к интегрированию дифференциальных уравнений. Этим заканчивается задача механики, и завершить решение проблемы придется чистому анализу. Вот самый простой способ составления дифференциальных уравнений движения некоторой системы тел.

Если вообразить три взаимно перпендикулярные неподвижные оси и в некоторый момент разложить скорости каждой материальной точки системы тел на три другие, параллельные этим осям, можно рассматривать каждую отдельную скорость как равномерную в этот момент. Затем, в конце момента, можно представить себе эту точку под воздействием трех скоростей, параллельных одной из осей, а именно: ее скорости в этот момент, небольшого изменения, которое скорость получает в следующий момент, и этого же изменения, приложенного в обратном направлении. Две первые из этих скоростей существуют в следующий момент. Третья должна быть уничтожена силами, увлекающими точку, и действием других точек системы. Таким образом, полагая, что мгно­венные изменения частных скоростей каждой точки системы приложены к этим точкам в обратном направлении, мы получим систему, которая в силу этих изменений и действующих на нее сил должна находиться в равновесии. Уравнения этого равновесия получаются с помощью принципа возможных скоростей. Комбинируя их с уравнениями, связывающими части системы, получим дифференциальные уравнения движения каждой из ее точек.

Ясно, что подобным же способом можно привести и законы движения жидкостей и газов к законам их равновесия. В этом случае условия, от­носящиеся к связи между частями системы, сводятся к тому, чтобы объем любой молекулы оставался неизменным, если жидкость несжимаема, и чтобы он зависел от давления по заданному закону, если жидкость упруга и сжимаема. Уравнения, выражающие эти условия и изменения движения жидкостей и газов, включают частные разности каждой из координат молекулы, взятые либо по отношению к времени, либо по отношению к первоначальным координатам. Интегрирование такого рода уравнений представляет большие трудности, и до сих пор оно удалось лишь в отдельных случаях, относящихся к движению весомой жидкости в сосудах, к теории звука и к колебаниям морей и атмосферы.

Рассмотрение дифференциальных уравнений движения системы тел привело к открытию нескольких весьма полезных принципов механики, являющихся развитием тех, которые были нами представлены при описании движения точки во II главе этой книги.

Материальная точка движется равномерно по прямой, если она не испытывает посторонних воздействий. В системе тел, действующих друг на друга, но не подверженных действию внешних сил, общий центр тяжести движется равномерно по прямой, и его движение таково, как если бы все тела были сосредоточены в этой точке и все силы, увлекающие их, непосредственно приложены к ней, так что направление и величины их равнодействующей остаются постоянно неизменными.

Мы видели, что радиус-вектор тела, подверженного действию силы, направленной к неподвижной точке, описывает площади, пропорциональ­ные времени. Если предположить, что система тел, действующих друг на друга каким-либо способом, подвержена действию силы, направленной к неподвижной точке, и если из этой точки к каждому из тел провести радиус-вектор и спроектировать их на неизменную плоскость, проходящую через эту точку, сумма произведений массы каждого тела на площадь, описанную проекцией его радиуса-вектора, пропорциональна времени. В этом состоит принцип сохранения площадей.

Если нет неподвижной точки, притягивающей систему, или она под­вержена только взаимному действию ее частей, за начало радиусов-векторов можно взять любую точку.

Произведение массы тела на площадь, описанную проекцией его радиуса-вектора за единицу времени, равно проекции полной силы этого тела, умноженной на перпендикуляр, опущенный из неподвижной точки на направление спроектированной таким способом силы. Это последнее произведение представляет момент силы, вращающей систему вокруг оси, перпендикулярной к плоскости проекции и проходящей через неподвижную точку. Итак, принцип сохранения площадей сводится к тому, что сумма окончательных сил, вращающих систему вокруг какой-либо оси, проходящей через неподвижную точку, в состоянии равновесия равная нулю, постоянна в состоянии движения. Представленный таким способом этот принцип подходит для всех возможных законов, которые могли бы связывать силу и скорость.

Живой силой системы называют сумму произведений массы каждого тела на квадрат его скорости. Когда тело движется по кривой или по поверхности, не испытывая действия посторонних сил, его живая сила все время остается постоянной, так как постоянна его скорость. Если тела системы не испытывают других взаимодействий, кроме их взаимного притяжения и давления либо непосредственно, либо посредством нерастяжимых и не упругих стержней и нитей, живая сила системы постоянна даже в том случае, если некоторые из ее тел принуждены двигаться по кривым линиям и поверхностям. Этот принцип, названный принципом сохранения живых сил, распространяется на все возможные законы, связывающие силу и скорость, если под живой силой тела

понимать удвоенный интеграл произведения его скорости на дифференциал приложенной к нему конечной силы.

При движении тела, побуждаемого какими-либо силами, изменение живой силы равно удвоенному произведению массы тела на сумму ускоряющих сил, умноженных, соответственно, на величины элементарных перемещений тела в направлении к началам этих сил. В движении системы тел удвоенная сумма всех этих произведений равна изменению живой силы системы.

Представим себе, что при движении системы все тела под влиянием приложенных к ним ускоряющих сил в одно и то же время приходят в положение равновесия. Изменение живой силы, по принципу возможных скоростей, будет равно нулю. Поэтому живая сила тогда будет максимальна или минимальна. Если бы система двигалась лишь посредством простых колебаний только одного вида, тела, выходя из положения равновесия, стремились бы к нему вернуться, если равновесие – устойчивое. Их скорости уменьшались бы по мере удаления от этого положения, и, следовательно, в этом положении живая сила имела бы максимум. Но если равновесие неустойчивое, тела, отдалившись от него, стремились бы удалиться еще дальше, их скорости возрастали бы и живая сила была бы в этом случае минимальна. Отсюда можно заключить, что если живая сила постоянно максимальна, когда все тела системы приходят в состояние равновесия одновременно, то, какова бы ни была их скорость, равновесие устойчиво. И наоборот, как абсолютная, так и относительная устойчивость отсутствуют, если живая сила в этом положении минимальна.

Наконец, мы видели во II главе, что сумма интегралов произведений каждой конечной силы системы на элемент ее направления, сумма, которая в состоянии равновесия равна нулю, в состоянии движения становится минимальной. В этом состоит принцип наименьшего действия, отличающийся от принципов равномерного движения центра тяжести, сохранения площадей и сохранения живых сил тем, что эти принципы суть истинные интегралы дифференциальных уравнений движения тел, тогда как принцип наименьшего действия – особое сочетание этих самых уравнений.

Так как конечная сила тела есть произведение его массы на скорость, а скорость, умноженная на путь, пройденный за элемент времени, равна произведению этого элемента на квадрат скорости, то принцип наименьшего действия может быть выражен следующим образом.

Интеграл живой силы, умноженный на элемент времени, минимален. Таким образом, истинная экономия природы сводится к экономии живой силы. Эту экономию нужно иметь в виду при конструировании машин, которые тем совершеннее, чем меньшую живую силу они затрачивают для производства определенного действия. Если тела не подчинены никакой ускоряющей силе, живая сила системы постоянна. Поэтому система переходит от одного положения к любому другому за кратчайшее время.

О применимости этих принципов надо сделать важное замечание. Принцип равномерного движения центра тяжести и принцип сохранения площадей остаются в силе даже в случае, если из-за взаимного действия тел возникают резкие изменения в их движениях, и это делает эти принципы очень полезными при многих обстоятельствах. Что же касается принципа сохранения живых сил и принципа наименьшего действия, то они предусматривают, чтобы изменения в движении системы происходили постепенно, неощутимыми переходами.

Если система подвергается резким изменениям под влиянием взаимного действия тел или при встрече с препятствиями, живая сила при каждом таком изменении претерпевает уменьшение, равное сумме произведений каждого тела на квадрат его утраченной скорости; если представить себе, что его скорость, существовавшая до этого времени, разложена на две, из которых одна – остается, а другая – уничтожается, то квадрат этой последней, очевидно, равен сумме квадратов отклонений, претерпеваемых в результате этого изменения скорости, разложенной параллельно трем каким-либо взаимно перпендикулярным осям.

Все эти принципы остаются в силе и при относительном движении тел системы, если она увлекается общим движением вместе с центрами сил, которые мы раньше предполагали неподвижными. Эти принципы сохраняются также при относительных движениях тел на Земле, так как невозможно, как мы уже видели, судить об абсолютном движении системы тел единственно только по видимым проявлениям ее относительного движения.

Каковы бы ни были движения системы и изменения, испытываемые ею под влиянием взаимных действий отдельных ее частей, сумма произведений массы каждого тела на площадь, описанную проекцией его радиуса-вектора вокруг общего центра тяжести на плоскости, проходящей через этот центр и всегда остающейся параллельной самой себе, постоянна. Плоскость, на которой эта сумма максимальна, сохраняет параллельное самой себе положение при движении системы. Эта же сумма равна нулю по отношению ко всем плоскостям, проходящим через центр тяжести перпендикулярно плоскости, о которой шла речь. Квадраты трех таких сумм, относящиеся к трем взаимно перпендикулярным пло­скостям, проходящим через центр тяжести, равны квадрату вышеупомя­нутой максимальной суммы. Плоскость, соответствующая этой сумме, имеет еще то замечательное свойство, что сумма проекций площадей, описанных телами вокруг друг друга и умноженных, соответственно, на произведение масс каждых двух тел, соединенных радиусом-вектором, максимальна на этой плоскости и на всех других, параллельных ей. Поэтому во всякий момент можно найти плоскость, которая, проходя через какую-либо из точек системы, всегда сохраняет параллельное положение. Но поскольку две из произвольных постоянных этого движения исчезают, если движение тел отнести к этой плоскости, то естественно выбрать ее в качестве плоскости координат и их начало поместить в центр тяжести системы.

Дата добавления: 2015-07-02