Распределение оценок по предметам

N

N

χ² = ∑∑ (1)

i j m_j

n_i

Наиболее простой вид таблица сопряженности принимает, если изучается совместное распределение только двух признаков, каждый из которых может или иметь место или отсутствует, т.е. имеет дихотомическое измерение (см. табл. 9).

В некоторых случаях таблицы сопряженности (2 x2), при условии, что вам не требуется перенос с выборки в популяцию, удобнее пользоваться более легкими в расчетах коэффициентами контингенции Q и ассоциации Ф.

Расчетная формула (2) коэффициента контингенции Q (коэффициента связи Юла):

ad – bc

Q = (2)

ad + bc

Расчетная формула (3) коэффициента ассоциации Ф:

ad – bc

Ф = (3)

√ (a+b)(b+d)(a+c)(c+d)

Рассмотрим примеры проверки независимости распределения двух признаков с использованием критерия χ² и коэффициентовконтингенции и ассоциации.

Пример 1. Предположим, мы выдвинули гипотезу о независимости успешности обучения иностранному и родному языку. На выборке 30 человек были получены следующие данные (см. табл. 8).

Таблица 8

Оценки по русскому языку	Оценки по иностранному языку
			∑
∑

Посчитаем эмпирическое значение χ² по расчетной формуле (1)

1+0+1 1+4+9 0+4+4

χ²_эмп. = + + ≈ 7,47

3 5 2

Из таблицы критических значений χ² [15, с. 328] при α = 0,05 и числе степеней свободы 4 χ²_{кр .}= 9,49. Следовательно, предположение о независимости классификации не отвергается.

Пример 2. Проверяется гипотеза о влиянии промежуточного контроля во время семестра на результат сдачи экзамена во время сессии (см. табл. 9). Данные измерены в дихотомической шкале, т.е. принимают только два значения: 1 – сдал, 0 – не сдал. В таблице a, b, c, b - это количество испытуемых, имеющих соответствующие результаты по обеим проверкам, т.е. частоты совместной встречаемости значений Х и Y.

Таблица 9

Распределение промежуточного и итогового контроля знаний

Итоговый контроль Y (экзамен)	Промежуточный контроль Х(коллоквиум)	Всего
сдан Х=1	не сдан Х=0
Экзамен в сессию сдан Y=1	78(а)	22(в)	100(a+b)
Экзамен в сессию не сдан Y=0	32(с)	68(d)	100(c+d)
итого	110 (a+c)	90 (b+d)

Подставляя значения в формулы (2 и 3), получаем

78 x 68 – 32 x 22

Q = = 0,766

78 x 68 + 32 x 22

78 x 68 – 32 x 22

Ф = = 0,46

√ (78+22)(22+68)(78+32)(32+68)

Коэффициент контингенции всегда больше коэффициента ассоциации. Связь считается подтвержденной, если │Ф│≥0,5, а │Q│>0,3, область изменений Q и Ф – интервал [-1;1]. Какой коэффициент выбирать на практике - зависит от распределения частот: если частоты концентрируются преимущественно в трех клетках таблицы, желательно использовать коэффициент контингенции Q, во всех остальных случаях – коэффициент ассоциации Ф.

Что касается всех остальных случаев, то за неимением места вынужденно отсылаем к справочной литературе [4, 15, 17].

Когда экспериментальная выборка не очень большая, то полезно для точности анализа связей помимо расчета коэффициента корреляции строить диаграмму рассеивания. Это график, обе оси которого есть переменные. Каждая пара значений переменных (Xi, Yi), представляющая i-го испытуемого, есть точка на плоскости. По характеру распределения точек можно судить о виде и силе связи.

Если вы планировали и провели корреляционное исследование, то, скорее всего, данные будут обрабатываться средствами корреляционного анализа. Рассмотрим обработку данных с использованием стандартных программ (в нашем случае это программа «STATISTIKA»).

Дата добавления: 2015-07-02