Работа 3

Физическим маятником называют любое твердое тело, которое под действием силы тяжести может свободно качаться вокруг неподвижной горизонтальной оси. Движение маятника описывается уравнением

,

где I — момент инерции маятника,

j — угол отклонения маятника от положения равновесия,

t — время,

М — момент сил, действующих на маятник.

В данном упражнении в качестве физического маятника используется однородный стальной стержень длины L. На стержне закреплена опорная призма, острое ребро которой является осью качания маятника. Призму можно перемещать вдоль стержня, меняя таким образом расстояние ОС от точки опоры маятника до его центра масс. Пусть это расстояние равно d (рис. 5).

Тогда по теореме Гюйгенса-Штейнера момент инерции маятника

,

где m — масса маятника.

Момент силы тяжести, действующей на маятник,

.

Если угол j мал, то sinj» j и .

В исправной установке маятник совершает около сотни колебаний без заметного затухания, поэтому моментом силы трения в первом приближении можно пренебречь. Подставляя выражения для I и M в (11), получим уравнение

, (12)

где . (13)

Легко убедиться, что решением этого уравнения является функция

.

Амплитуда колебаний А и их начальная фаза j_о зависят от того, как возбуждаются колебания маятника, а частота колебаний, согласно (13), определяется только параметрами L и d. Из получаем

. (14)

Мы видим, что период колебаний физического маятника не зависит ни от фазы, ни от амплитуды колебаний. Это утверждение справедливо для колебаний, подчиняющихся уравнению (12). Движение маятника описывается этим уравнением приближенно — в той мере, в какой справедлива использованная при выводе (12) формула sinj» j.

Исследование правильности утверждения о том, что период колебаний маятника не зависит от амплитуды, является чувствительным методом проверки теории.

Как известно, период колебаний математического маятника определяется формулой

,

где L^’ — длина математического маятника. Приведенной длиной физического маятника называется длина такого математического маятника, который имеет период колебаний такой же, как у данного физического маятника. Поэтому величина (см. (14))

(15)

равна приведенной длине физического маятника. Точку О ^’, отстоящую от точки опоры О на расстояние L _пр, называют центром качания физического маятника. Можно доказать, что центр качания и точка опоры маятника обратимы, т.е. при качании маятника вокруг точки О ^’ период должен быть таким же, как и при качании вокруг точки О. Исследование справедливости этого утверждения является другим хорошим методом проверки теории.

Еще один метод заключается в проверке правильности формулы (14). Входящую в эту формулу величину d можно изменять, передвигая опорную призму по стержню.

В качестве математического маятника в упражнении используется массивный свинцовый шарик, подвешенный на двух расходящихся нитях (бифилярный подвес). Длину нитей можно изменять, наматывая нить на ось.

Дата добавления: 2015-07-02